DSi専用のメールアドレスというものは現時点では存在しませんが、パソコンで取得するのと同様にメールアドレスを取得することができます。
以下に大手のメールサービスをいくつか紹介します。
Gmail(Googleのメールサービス)
https://mail.google.com/mail?hl=ja
Windows Live Hotmail(MSNのメールサービス)
Yahoo!メール(Yahoo!によるサービス)
ただ、これらはパソコン向けのサービスなので、DSiブラウザーからは少々見づらいかもしれません。
新規登録の際に、氏名や生年月日などの個人情報の入力を要求されることがありますが、それは必ずしも本当のことを書く必要はないと思います。ハンドルネーム等でごまかすのが良いかと思われます。
メールアドレスは欲しいけれど、実は使い捨てで良いというのであれば
10 minutes mailもよいかもしれません。
ただし、手持ちにDSiがないので、3DSブラウザにてメールアドレスが発行されるのを確認しました。