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数学Ⅱ・B 高次方程式 解答解説して頂きたいです

f(x)=x^3-3x+1 とおき, 3次方程式 f(x)=0 の解の1つをαとする。
(1) f(α^2 -2) の値を求めよ。
(2) 2次方程式 x^2-ax+1=0 の解の1つをβとするとき (β^3)+(β^-3) の値を求めよ。


ちなみに(1)は解けたかもしれません。
f(α)=α^3-3α+1=0・・・☆ となるので, {f(α)}^2=0
したがって f(α^2 -2)-{f(α)}^2 を計算すると -2(α^3-3α+1) となり
☆より f(α^2 -2)-{f(α)}^2=f(α^2 -2) =0
でもこの解き方はまともな解き方なのでしょうか？
もっと普通に解く方法があったりしないでしょうか？
このことも併せて回答頂けると嬉しいです。