ypfhd160回答ポイント なしウォッチ

次の広義積分が収束するようなパラメータの範囲を定めよ。

I=∬D dxdy/|x|^(a)+|y|^(b)
D:x^2+y^2≦1

回答
a>0,b>0のとき
I1=∫（０→１）ｄｙ ∫（０→１）ｄｘ/x^(a)+y^(b) を考えればよい。

x/y^(b/a)=tとおく。 dx/x^(a)+y^(b)=1/y^(λ)×dt/t^(a)+1 となるようにすると

λ+b/a-b=0 すなわち λ=b/a(a-1)

I=∫（０→１）ｄｙ/y^λ×∫（０→y^(-b/a))×dt/t^a+1

ここでy～0のとき
∫（０→y(-b/a)) dt/t^a+1 ～Cy^(-b(1-a)/a), a<1のとき
～C|logy| a=1のとき
～C a>1のとき

となる。 a<1なら Ｉ1～C∫（０→１）ｄｙ で明らかに収束
a=1のときλ＝０で Ｉ１～C∫（０→１）|logy|dyとなりこれも収束
またa>1の場合は Ｉ１～C∫（０→１）ｄｙ/y^λ

以上よりこれが収束するための必要かつ十分な条件はλ<1 すなわち
b/a(a-1)<1 ab<a+b


a=0 またはb=0のとき Ｉ1=∬D dxdy/1+|y|^b などとなり明らかに収束

以上より a≦0 またはb≦０ または ab<a+b
説明お願いします＞＜