結論を先に言えば、赴任先の代書屋さんか中古車屋さんに相談するのが、手っ取り早くて確実だと思います。その上で私の意見を述べさせてもらえば、住民票はそのままで赴任先で車庫証明をとることは可能だと考えます。
まず、住民票を移す/移さないの判断ですが、これは実際の居住地に変更あれば速やかに届けるのが基本で罰則もあります。ただ、「居住地を変更」したかどうかの判断はあなたの主観によりますので一概に線を引けないケースもあります。
例えば、平日は勤務先の近くで寝泊まりしているが、週末や月末には「自宅」に帰るということであればこれは「自宅」のある自治体で住民登録するのが本来の形だと思います。
ここで重要なのはこれが月一だろうが年一だろうが明確な線引きはないということです。
あなた自身が「自宅」がどこにあると定義するかの問題。
こういうと堅苦しい感じがしますが、例えば選挙権を行使するのはどの自治体にしますか?ということです。
大阪に自宅があるが、普段寝泊まりしているのは東京都なので、都知事選挙には投票するぞ!ということなら住民票は東京に動かすことになるし、いや俺は大阪府民なので府知事選挙に投票する、というなら住民票も大阪のままになります。
これはどちらが違法ということにはならないはずです。地方選出の国会議員のセンセイ方も普段は国会に通勤できる範囲にお住まいの筈ですが、住民票は地元の方がほとんどだと思います。
次に、住民票記載の場所から離れた場所で車庫証明を取得できるか?ですが、これも不可能ではないと思います。極端な例では別荘で使う車両はその付近に車庫を用意するのが普通です。
ただ、地域によっては単身赴任で~というケースはなかなか認められない、というところもあるようですし、住民票と違う住所に寝泊まりしているという実情を証明/説明するのが少し面倒かもしれません。
ただ、自宅の近所で車庫証明取って実際に停めるのは別の場所っていうのはそれこそルール違反なので、どうしても住民票を移動したくないのであれば、粘り強く交渉するしかないですね。その価値があるのかどうかご本人の判断によりますが。
ちなみに私個人の感覚としては、もし警察署で揉めた場合、まあ車を買うくらいの実情ならば住民票を移す方が面倒なくていいかな、と感じます。
※私は専門家ではありませんので、法的に正しいかどうかはご自身で必ずご確認下さい。