まず原因はすべて自分にあるのか、相手がある事由の場合には相手には落ち度はなかったのかを考えましょう。
そのうえで、ひいき目で見ても主因は自分だ、となった場合には速やかかつ素直に謝罪し、そのうえで「次善策、あるいは次々善策として相手は自分にどう対処することを求めているか」を尋ねましょう。
ミスの主因は必ずしも自分だけではない、と思えた場合には、考えなしに謝るのではなく、まず事実をありのままに報告(伝達)し、そのうえで謝罪し、対応策の指示を仰ぐ、または協議しましょう。相手にとっては「仕方ないな、じゃあこうしようか」程度の誤差である場合もあります。
個人的にですが、失敗による影響を与える相手がある場合、今回限りの付き合いになる場合と、今後も継続的に付き合いがある場合とによっても、対応は変えるのが賢明かもしれません。継続的な付き合いになる場合には、ヘタに取り繕ったり話を作って自己弁護しようとしても後々ほころびが生じてごまかしがバレてかえって危地に陥るでしょう。ヘタに計算を働かせず、自分に落ち度があると感じたら率直にぶちまけてしまうべきです。
そして、基本的には「周りに迷惑がかかる」と直感した失敗の場合には、一人で先走って終息させようとしないことです。シミ1つをピンポイントで塗り隠そうとして悪目立ちするよりも、全体的に薄汚れさせた方が目立たない場合もあります。どのように収束させるかは、全体を見てある程度采配を振るえる立場の人に判断や指示を仰ぐのが賢明です。
ただし。自分一人の暗躍で解決できる範疇のミスであれば、何事もないかのようにつじつまを合わせてしまうことも一策です。こっそり100円ショップに行って三文判を買ってきて解決、つながりのある同業他社社員から汎用書式のデータを使わせてもらう、など。
そしていつも結果論になってしまうのですが「時間に余裕をもって早めに行動」です。世の中いつもギリギリのスケジュールで回っているのですが、早めに自分の手元から案件を手放してしまうようにしましょう。それによって自分より上の、あるいは先のポジションの人間に責任は移り、あるいはそこで不具合が発見されて期限前に対処する余地が出るかもしれません。
物事は予定通りに進めばラッキーです。ただし原因や不安要素は常に事前に予測、事後に検証しましょう。「出たとこ勝負」は常にあるのですが、「こうなるだろうと予測したうえでやる」のと「とりあえず、だたやってみる」のとでは全然違ってきます。