どうやらスタンバイモード中はネット接続が切断されてしまうようで、本来なら自動でダウンロードされているはずのアップデートファイルなどがダウンロードされずに面倒です。
スタンバイモード復帰後は接続されて普通に使えます。
プレイステーション4、あるいは無線Lanルーターどちらかの設定を変更して改善する方法があるなら教えてほしいです。回線はNttの光です。
有線LANでつなげばスタンバイ中でもアップデートは正常に実行されるでしょうか。
無線LANルータには省エネモードというのがついているものがあります。
試しに省エネモードを切ってみてはいかがでしょうか。
https://support.jp.playstation.com/app/answers/detail/a_id/13695