http://q.hatena.ne.jp/1458831516
πが無理数だというのを、数学に詳しくない人でもわかるように説明してくれ。頼む。
※数学としては算数レヴェル希望。文系でもわかる説明は高度でも可。
みんなの回答
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なぽりん
満足50pt
※口調を中学生（想定）向けにしています。鼻についたらすみません。
まってまって～、それは君が本当に聞きたいこととは違うよ。永遠に続く小数のことを全部無理数っていうんじゃないよ。
無限小数で0.33333…ってあるけどこれ「１／３」って分数で書けるね。永遠に続くけど、永遠に続く小数のうち、分数でかけるものは「有利数」、そうでないものは無理数なんだ。（たしか中学の後半で習うよね）
きみはπが無理数であることを証明してほしいんじゃなくて、それ以前の段階で、永遠に続く小数であるってことを証明してほしいんだよね。
でもね、じゃあ、0.333333…だって納得いかないだろ。１を３で割ったら、どこかで突然、細かすぎて余りがなくなって、割り切れるかもしれないじゃないか。これにどう反論する？
たぶん同じ計算が続くから予測できるんだ、っていうんだろうね。１に０をつけて３でわって３あまり１、またその余った１にゼロをつけて…。全く同じことの繰り返しだから簡単に予測できるな。
きみが反論したのと同じというか、もうちょっと詳しいやりかたで、円周率は割り切れないことが「予測」されてるんだ。その予測は事実だと検証されたので証明ともいう。
でもそれには大学で習う数学をつかわなきゃだめだね。ルート２が無限につづく小数である（どこかの桁で割り切れない）ことも高校までの数学では証明できないんだから。（中学で有理数・無理数という言葉をつかいつつ事実として習いはするけれど）
こっちなら大学入試くらいの数学をやっている人ならわかりやすいとおもう。
円周率が22/7より小さいことの証明 - Wikipedia
最後のほうに、πを分数と比較しながら求めるための一般式がでてくる。
「有理数だが無限小数である分数」をいくつも足しあわせて、「π」により近づいた形のものを表現しようとしているんだね。この式の「ｎ」の部分を４の倍数で４，８、１２、１６…とすすめていけば手持ちのコマは無限にπというゴールにちかづいていくのらしい。
ここで、やってるのは、割り算と割り算の引き算。つまり無限小数と無限小数の引き算。その結果も、無限小数になる。じゃあ、どうにかちかづけようとがんばっているゴールであるπも無限小数なんだろうという直感がしてくるんじゃないかな。数学的には全然意味のない仮定だけどね。
（数学者だと逆に、いかに無限小数どうしといえど、πという無理数を有理数で完全に表現することは不可能という証明が存在する、なんならその証明を自分が作るためにガンバルゾ、という言い方をするとおもう。ややこしい連中だ。そもそもどれだけ「ゴール」の形をしりたかったか、有限小数か無限小数の合間かがぼんやりしていかに不愉快だったかについてはいっしょに考えてはくれないんだ。ところで足し算でどんな形にもするってのはフーリエ変換みたいな話だけどこっちはこっちでまたややこしいからほうっておこう…）
√5が無限小数であることを証明するための参考資料はないか。 | レファレンス協同データベース←最終的には「中学教科書に書いてあるから」という解答…。でももう一つの本はおもしろそう。
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なぽりん
☆
多食斎友好＝世田介
この質問へのコメント
質問の情報
- 登録日時
- 2016-03-25 02:26:25
- 終了日時
- 2016-04-01 02:30:03
- 回答条件
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分かる（ので、もっと詳しく）／分からない／一部が分からない。
あれをかみ砕いて説明することはできるかもしれないけど、あそこからもう一歩 具体的にしようとするとかなり飛躍しなきゃいけない、と思う。
＃ 具体的のイメージによるけど
元の質問者さんと同じで、自然数を～実関数が～とかなるともう拒絶反応が出るですけど。
「有理数じゃない」という定義は、実感を伴わないからだ。
んじゃ、有理数ってなんだ？となるが、がんばれば分数で書ける数なんだが、頑張り方が半端じゃなくなると、「もう無理数なんじゃね？」となる。でも、人知の及ぶ範囲であれば有理数なので、これは有理数。
無限の概念は難しく、有理数の方に無限の概念（循環小数等々）が入ってくるのが生理的に受け付けないこともあり、有理数の境目があいまい。なので、「有理数じゃない」という定義は受け入れにくいのだと思う。しかも、無理数であるという証明は、「これは無理数である」ではなくて、「これは有理数ではない」であり、さらに、直接「これは有理数ではない」というのではなく、「これを有理数と仮定すると矛盾が生じる。しかるにこれは有理数ではないと推定される。」となって、めんどくさい。それに、有理数の定義「分子分母とも整数」を式にする時点で素人の領域から外れるわけで、もう見てもわからない式の羅列になってしまう。
式の解説って超高度な技術で、式は書けるし解けるけど何してるかを「テクニカルターム無し」に説明するのは非常に困難。数式は「唯一無二の言語」なのです。
ある式を次の式に変換するところは、かろうじて「この式をこうしてこうするとこうなります」がほとんど。見りゃわかるだろ、というのがホワイトボードに張り付く人種の主張。
どの式までなら「踏みとど」まれます？さすがに、四則演算だけだと何ともならない。
数式を理解せずとも、”どういう意味合いで作られた、生まれた式なのか”がわかれば数学知らなくても理解たりしないかなとか思ったのは甘かったですかね。
それができたら、数式を擬人化したラノベとか漫画とかで証明問題を綴っていけそうだなと今思ったんですけど。
あれで取り残されると（多分たくさんいるだろう）、扱える数学の範囲が非常に狭くなる。