これは仕様ですか?
iPhoneに最初からついてきたのはEarPods (白い、丸くない形のイヤホン) で間違いないですよね?
でしたら、以下の方法でできませんか?
※上記 4. の手順でSiriも音声コントロールも表示されない場合、故障の可能性があります。iPod touchのバックアップを作成して、AppleにそのiPodを確認してもらってください。
それとも、「ボタンが反応しない」のではなく、そもそも「iPod touch側の付属イヤホンにボタンがついていない」のでしょうか?
もしお困りの症状がこちらならそれは仕様になります。