1番回答者さんへの補足。
「学校」が「公立」「国立」の学校や大学つまり公的機関であれば一応著作権の複製はOKとされていますが、「私立」「塾」はアウトです。
また「公立」「国立」であっても購入していないサンプル問題集のコピー配布など、著作権者がわざわざ禁止していることを行うのはアウトです。
ユーチューブも相手が教育機関かどうかに限らずダウンロード利用をアウトとしています。5のBにある「お客様は、「ダウンロード」または同様のリンクが本コンテンツについて本サービス上でYouTubeにより表示されている場合を除き、いかなる本コンテンツもダウンロードしてはなりません。」
先生が埋め込みリンクを電波で押しているかどうかはわかりませんし、その元コンテンツがダウンロード可能表示されているかは確認できませんが、ダウンロード可の表示のないコンテンツをダウンロードしているならアウトです。
また外国の著作権法は日本のものと違う可能性があります。たとえば現在日本では作曲者の死後50年たったメロディは利用OKですが、アメリカでは70年です。今現在、作曲者が死後60年目にあたるアメリカメロディはアウト。また演奏者も同様に図る必要があります。同様に日本の公的教育機関での利用もアメリカではアウトとされている可能性はあります。
まあ、ダウンロードしているならその時点で、限りなく黒に近いグレーですので、大事になるまえに親経由でPTA会議の議題にあげたほうがいいかもしれません。
埋め込むだけでなく、ウェブ上の動画にリンクする事も可能なようです。
・YouTube 上のビデオを挿入する、またはリンクする
https://support.office.com/ja-jp/article/YouTube-%E4%B8%8A%E3%81%AE%E3%83%93%E3%83%87%E3%82%AA%E3%82%92%E6%8C%BF%E5%85%A5%E3%81%99%E3%82%8B%E3%80%81%E3%81%BE%E3%81%9F%E3%81%AF%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%81%99%E3%82%8B-8340ec69-4cee-4fe1-ab96-4849154bc6db?ui=ja-JP&rs=ja-JP&ad=JP
インターネット接続がない状態で再生されないのでしたら、リンクで追加しているのだと思います。
上記の何れかの方法でYouTubeの動画を利用している場合は、規約違反にはならず、動画自体が違法ではない限り問題ないのではないかと思います。
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ファイル化の許諾が得られているかどうか、私的利用などが許されたファイルなのかは、非常に見分け方が面倒になっていますね。一般的に許諾の表示がないものについては下記のような感じです。
http://www.cric.or.jp/qa/shigoto/sigoto5_qa.html#q6
http://www.cric.or.jp/qa/multimedia/index.html
動画の取得方法によっては利用規約違反になりません。
教師自身が自分のチャンネルにアップロードしてからダウンロードした場合、YouTubeからのダウンロードは許可されています。
・自分の YouTube 動画をダウンロードする
https://support.google.com/youtube/answer/56100?hl=ja
※YouTube Redを契約している場合は、他人の動画のダウンロードも許可されていますが、当該ユーザーに許可を取るのが望ましいと思います。
何れも動画自体が著作権に違反していない事が前提条件になります。