minminjp2001回答ポイントなし

確率統計に詳しい方　ジャッジをお願いします

尚、質問の叩き台にあたる問題のユーチューブ動画のURLは本欄でなく、別欄の補足に示します（はてなのシステム事情による）。

下URLの動画の5：14頃からはじまる「第二講」のコンテンツ、「二人の子供の問題」。

曰く「ある家庭に二人の子供がいる。そのうちの一人が男の子であるとわかっている時、もう一方が男の子である確率は何％か？」

動画製作者による解説だと、かくかくしかじか1/3、33.3333％だそうです。
数学的に正しい記述や修辞なんでしょうか？私には疑問です（私はやはり50％と記述するのが正しいように思うのですが）。

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ベストアンサー

tak2018/08/18 15:32:02

ある家庭に二人の子供がいる。この時、性別の組み合わせは
1　男女
2　女男
3　男男
4　女女

この4パターンです。

そのうちの一人が男の子である場合は、 1,2,3 の3パターンです。
もう一人が男の子である場合は、その中では 3だけです。
なので、 1/3 の確率です。

そのうちの一人、という表現ではどちらの子も順番を区別しないはずですが
今回の場合は1,3のパターンしか見えなくなってしまうのではないでしょうか？

スター
- 4件のコメントを見る
- poliphilus 2018/08/19 16:37:00
  
  動画の解説だとこれですが、
  ハッキリ言って問題の出し方が悪いです。
  前提条件があやふやです。
  質問者が疑問に思うのも無理ないです。
  
  スター
- minminjp2001 2018/08/20 04:55:10
  
  ↑（すいません,上の私質問者minminjp2001と同じアイコンの方どなたでしょう？）通りすがりの投稿者の方だと思いますが、混乱するので、一応、私質問者minminjp2001ではないことを付け加えておきます。
  
  スター
- minminjp2001 2018/08/20 05:05:56
  
  質問者minminjp2001です。
  
  takさん　回答ありがとうございます。ああ確かに「順番を区別しない」としている動画内の前提も重要要素ですね。見逃してました。
  
  スター
- minminjp2001 2018/08/28 07:32:42
  
  削除
  今回の錯誤は「既に二人いる（これから生まれるのではない）」という設問条件がしっかり捉えられているか否かか、ポイントなんだと思います。
  
  つまり、私を含む凡人は与えられた情報を整理するため、まずはじめに要素分解というものを無意識かつ初動的に試みて、単線時系列の線上に状況を再構築しようとする。この細分化+再構築の過程で決定的錯誤が起きてしまう。
  （白紙の状態からまず一人、次に一人、、、と無意識の内にカウントしてしまう）
  
  そして一人目と二人目の間に「ということは・・・」なんて接続詞を入れてみたりして、「未来の独立した事象」の確率でもってして全体を顧みようとする。これがアウト。これをやっちゃうと1/2なんて言い出すことになる。
  
  仮に、時系列線上再構築をしたとしても二人目が生まれた時点から二投全体を振り返れば問題ないのですが、一投一投の中間で確率論を考え始めてしまう。早まってはいけない、ということなのでしょう。
  
  今回の質問はtakの表が一番解りやすいかった（最終的に2の組み合わせもあり得るのだということが一目瞭然なので）のでベストアンサーを差し上げます。
  ありがとうございました
  
   スター

その他の回答

minminjp2001
2018/08/17 20:52:05

https://www.youtube.com/watch?v=l1S-7jKJtyY

minminjp2001
2018/08/17 20:52:39

質問文を編集しました。詳細はこちら。

a-kuma32018/08/18 01:43:27

モンティ・ホール問題の劣化版みたいなやつ。
子供が二人いるってことは、兄弟で先に生まれたのと、後に生まれたのは時間差があって、それぞれ独立事象でしょう、と思わせるのがひっかけ。
兄弟が双子だと思ってください。一卵性とか二卵性とかは無視して、それぞれ1/2の確率で男女が決まると考える。
コインを二枚投げて、片方が表だと分かった場合、もう片方が表の割合はいくらですか、と同じです。

今、お母さんのおなかの中に下の子がいます。上は男の子です。さて、お腹の中の子供の性別は何ですか。
という錯誤をさせるという質問です。

スター

6件のコメントを見る
minminjp2001 2018/08/18 04:23:11

回答ありがとうございます

モンティ・ホール問題は知っていますが、それとは似ていて非なる問題だと思います。そもそもモンティ・ホール問題はこれ見よがし的な証明式では証明できなかったはずです（最終的にはモンテカルロ法で証明？）。

今回のは正にコイン・トス・テストと同じだろうと思ったのです。つまり直前履歴がたとえ表表表表表表表表表と9回連続しようが10回目の表の出る確率は50％に過ぎない、という確率論のあまりにベーシックなオリエンテーションと同じなんじゃないでしょうか？

「独立した事象」が連続した結果、「全体」の傾向を決めるのですから、ちょっとした言質の捉え方、捉えさせ方（修辞）如何で答えが左右されるということですかね？

例えば問題文の書き方（修辞）として下の2つは確率論の世界では似て非なる問題だということかしら？

甲修辞　「最初に男が生まれ、次に男が生まれる確率は何％か？」
乙修辞　「最初に男が生まれ、次に第二子が加わり、最終的に二人の子供がいる場合、その組み合わせが男兄弟となる確率は何％か？」

みやど先生ヘルプ

 スター
みやど 2018/08/18 12:15:42

モンティ・ホール問題は前提の下では数学的に示せます。ただし前提が崩れれば違ってくることもあります。

甲と乙とが違うのではなく、甲と乙は「既に2人いて、そのうち少なくとも1人は男」とは違います。

スター
minminjp2001 2018/08/20 04:46:49

たびたびすいません　モンティのことは考えないことにします

>>甲と乙は「既に2人いて、そのうち少なくとも1人は男」とは違います。

甲は「既に2人いる」という前提でないのは理解できます。しかし乙は「最終的に二人の子供がいる」と打ってあるので「既に2人いる」という前提と同義なんじゃないでしょうか？

スター
みやど 2018/08/20 07:13:25

下に書いたとおり。

スター
minminjp2001 2018/08/27 06:45:17

返答遅れてすいません。一週間複数回答者氏の投稿を吟味するうちに少しずつ判ってきました。やはり数学的には動画の通りの答えが正しいですね。コイントスの二投後、確定済みの全体組み合わせを記述する確率と、将来未確定な一投を含んだ全体組み合わせを記述する確率とは異なる、という風に納得しました。

スター
minminjp2001 2018/08/27 06:51:45

他の投稿者とアイコンがダブるようでしたので今回オリジナルアイコンを作りました

 スター

みやど2018/08/18 07:30:53

もちろん、前提は要ります。

そもそもにおいて
「子供を作るときごとに独立に男か女かは1/2」
は大前提として認めています。これは厳密には実際に正しくはありませんが、近似的には実際になり立っているといってまず問題ありませんから、これを認めます。空気抵抗なしとか導線の電気抵抗が0とかいうようなものであって、厳密には実際に正しくはありません。

「あなたにお子さんは何人いますか」
「2人います」
「少なくとも1人は男ですか」
「はい」

という前提であればもう一方が男である確率は1/3です。これは場合分けを尽くして示すのが簡単な方法です。ただこの前提はかなり人工的です。昔なら男の子に家業を継がせるために「少なくとも1人は男」に重要性があったかもしれませんが、今はそういう意義は薄れています。

Aさんの子供に中学生と小学生がいて「中学生の方が」男だと分かった場合は小学生の方が男である確率は1/2です。こちらは余り人工的とは言えません。

年老いたAさん宅に福祉関係者がやってきて、「息子さん」が同居して介護していることが分かり、話を聞くともう1人子がいて経済的に扶養していることが分かった場合は「一般的に言えば経済的に扶養するのは男の方だ」という事情があるので等確率の前提が崩れてしまい不適切ですが、そういった事情がなければ1/2です。

スター

5件のコメントを見る
minminjp2001 2018/08/20 04:41:59

回答ありがとうございます

うーん、まず「前提が人工的かどうか」という視点がよくわからん（笑）
「少なくとも1人は男である」という前提と「どちらか一方（中学生の方）が男である」という前提に「人口的」も何もなく同じであるように思えるのですが。

スター
みやど 2018/08/20 07:12:36

「上の子が男」という詳細な情報を得ているのに、「（上と下のどっちか分からないが）少なくとも一方が男」という詳細でない条法の下での条件付確率を用いてはいけません。

スター
みやど 2018/08/20 09:55:42

要するに、条件付確率での条件と、論理学における仮定をごっちゃにしてはいけません。

論理学では、仮に
「スカートを穿いていれば女である」
という前提があれば、たとえ仮装行列でスカートを穿いていたとしても女だということになります。しかし、条件付確率は違います。仮に

「Aはスカートを穿いている」ときの「Aは女である」ことの条件付確率は0.999

だという前提があったとしても

「Aは仮装行列でスカートを穿いている」ときの「Aは女である」ことの条件付確率も0.999

なわけではありません。常識的に考えればもっと小さくなります。

スター
みやど 2018/08/21 08:38:12

条法→情報

 スター
minminjp2001 2018/08/23 06:37:48

すいません　私の書き方や運び方が至らなかったのかもしれませんが、動画内の出題では「どちらか一方が男」という情報条件なんですね。

この数日暇な時に考えましたが、やっぱり動画の通りの結論回答で問題ないんだと思います。ただ何故多くの人が間違いやすいか、という点については単に「直感批判」的水準に終わってるのでそこが不満ではあります。何故錯誤しやすいのかもだんだん見えてきたのでそれは別の方のコメントスレで書きたいと思います。

スター

まい2018/08/20 13:32:44

確率は直感とは異なることがしばしばありますが、これはその典型ですね。

ひとつずつ考えましょう。まず、生まれてくる赤ちゃんの性別は男と女の二つです。簡単のため、性別の定義については考慮しません。このとき、生まれてくる赤ちゃんが男である確率を1/2とします。これは精度の良い近似です。当然、女が生まれてくる可能性も1/2とします。両者の確率は等しく、しかも足して1になりますから、赤ちゃんを産んだ時点でその赤ちゃんは絶対に男か女であるということです。

これは何人産んだところで不変の確率です。n人の赤ちゃんを産んだところで、その赤ちゃんが男である確率は1/2のまま。女である確率も然りです。

ところで、今回の問題を抜き出してみましょう。

「ある家庭に2人の子供がいる。そのうちの1人が男の子であることが分かっているとき、もう1人も男の子である確率はいくらか？」

これは受験では「条件付き確率」と呼ばれる問題です。確か高校一年生くらいでやりますが、結構つまづく人が多いようです。特に問題のように生活を題材にした問題では、普段の感覚からズレてしまうのでしょう。

確率には、「考えうる確率を全部足したら1になる」という大前提が存在します。試しに子供が2人いるときを考えてみましょう。子供の性別の組み合わせは、上下を区別すると{男,男},{男,女},{女,男},{女,女}の4つの可能性が考えられます。漢字で表現すると「兄弟」「兄妹」「姉弟」「姉妹」です。このうちのどれかになる確率は、直感通り全て1/4になります。そして、1/4+1/4+1/4+1/4=1ですから、上の4つで全ての可能性を考えていることも確認できます。

ところが、今回の問題は「2人の子供がいる」のほかに「そのうちの1人が男の子であることが分かっている」という《条件》が付与されています。すなわち、この時点で姉妹の可能性は0になるわけです。とすると、今回考えうる可能性は{男,男},{男,女},{女,男}の3通りしかありません。言い換えると、「これで全部の可能性を考えきれている」のです。ということは、{男,男},{男,女},{女,男}である確率を全部足すと1にならなければなりません。つまり確率は全て1/3と考えるべきであり、ゆえに求める確率は単純な数え上げによって2/3にであると分かります。問題のミソは、「《条件》によって姉妹の確率が0にされている」ということです。

極端な話をすると分かりやすいかもしれないので、以下の問題を考えてみましょう。

「コインを2回投げました。そのうち2回でオモテが出たことが分かっています。このとき、2回ともオモテが出ている確率はいくらか？」

ここで1/4と答える気にはならないでしょう。どう考えたって1です。問題文で{オモテ,オモテ}であることが既に公言されていますから。もちろん、コインを2回投げて単純に2回オモテが出る確率は1/4です。子供の問題では、これと本質的に同じことが起こっています。

最後に、直感で考えていた確率1/2について述べておきます。実は、混乱を招くかもしれませんが、以下のような問題では答えが1/2になるようです。

「ある夫婦が子供を授かった。男の子だった。2人目の子供を授かったとき、その子も男の子である確率はいくらか？」

先程の問題と比較してみてください。

スター

1件のコメントを見る
minminjp2001 2018/08/28 07:33:31

回答ありがとうございました

一週間考えて納得しました。

スター

確率統計に詳しい方　ジャッジをお願いします

ベストアンサー

tak2018/08/18 15:32:02

poliphilus 2018/08/19 16:37:00

minminjp2001 2018/08/20 04:55:10

minminjp2001 2018/08/20 05:05:56

minminjp2001 2018/08/28 07:32:42

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