「engine」ですね。
研究社の新英和中辞典によると「複雑な機械」という意味があります。
古くはsteam engineの通称でもあった。
「gin」は比較的単純な機械の通称のようで、機械とか三脚起重機とか綿織機、あるいは「わな」などの翻訳が出てきます。
従って、言われているようないろいろな意味に使われるengineは、「特定の機能を持った複雑な機械」とでも意訳すれば元の意味に近いでしょう。
もともとの意味はご提示の通り燃料を燃やして動力を得る機械のことを差します。
これに動力源という意味が加わり、転じて動かすと何かを生み出すものという意味に転じたのではと思います。
ガチャ回すと何か出てくるような^^、動作させると生み出す(テンプレートを生成する、検索結果が出る)ということかと。
「検索エンジン」が一番良く知られているとおもいます。
演算(機)と発音が似ていることもあって日本でよく人口に膾炙してますね。
昔は「アルゴリズム(広義)」なんかも同じような意味で使われていましたが、
さすがにソフトウェアの複雑化、集積化(AIに近づいてきた)に伴って
アルゴリズムでは比喩にもならなくなったんでしょう。