Apple TVはランプが点灯しているので、電源が入っていると思います。
会社のテレビで試したら、すんなりと設定画面は映りました。
やはり、自宅のTVに問題があるのでしょうか?
自宅のTVはcobyテレビのLTB321B(2012年式)で解析度はハイビジョン(1366×768)になります。
どうしてこうなるのか、わかる方教えてください。
解像度の問題のようです。
Apple TV の電源が入らない場合や画面が真っ黒になる場合 - Apple サポート (日本)
5.Apple ロゴが表示されてから画面が真っ黒になる場合は、戻るボタンと音量を下げるボタンを 6 秒間長押ししてから、指を放します。Apple TV の解像度が 20 秒ごとに新しいものに切り替わります。「OK」を選択して解像度を選ぶか、「キャンセル」を選択して終了します。
どうしてそうなるか?の回答ではありませんが、他のモニターで映るなら、モニター側の問題 と切り分けはできてますね。その意識をはっきりした上でアップルサポートに電話したら何か進むかもしれないと思います