Gmailで独自ドメインのメールを設定する場合、Google Workspace(旧G Suite)というサービスを利用することになります。Google Workspaceを利用することで、独自ドメインのメールアドレスでGmailを使用できます。
通常のGmailアカウントと独自ドメインのメールアカウントは別々に管理されます。ブラウザでログインしている場合、右上のアカウントアイコンをクリックして、別のアカウントに切り替えることができます。切り替えたいアカウントがリストにない場合は、「アカウントを追加」をクリックして、新しいアカウントを追加できます。
また、Gmailのアプリ(iOSやAndroid)では、アカウントを追加し、左上のメニューからアカウントを切り替えることができます。アカウントごとに受信ボックスが分かれているため、通常のGmailアカウントと独自ドメインのメールアカウントのメールが混ざることはありません。
なお、複数のメールアドレスを一つのGmailアカウントで管理する方法もありますが、この場合、受信ボックス内でメールが混ざることがあります。ただし、受信メールの横に表示されるアドレスを見ることで、どのアドレス宛のメールかを判断できますし、フィルタを設定することで、受信メールを自動的にラベル付けしたり、特定のフォルダに振り分けることもできます。