のど自慢の応募要項に曲の制限はないので東方の曲で応募しても問題はないです。
https://pid.nhk.or.jp/event/PPG0337290/index.html
ただし、出場するには書類選考があります。
実際の放送を見る限り「地元のアピールにつながるような人」「みんなが知っているような曲」という基準で選定されているように思います。そういう意味で東方が通るかは疑問です。
さらに、東方楽曲はJASRACやNEXTONEなどの著作権管理団体に信託されておらず、番組で使うための許諾手続きが通常の手続きとは異なります。曲の知名度の問題もありますが、手続き上の理由で書類選考を通過しない可能性も高いです。