くろょ回答ポイント なしウォッチ

【次の予想は定理か】位数３の体上のn次元ベクトル空間に於いて、その零でない相異なる(n+1)個の元の組Vを{v_0.v_1,v_2,…,v_n}とする時、変数ベクトルx=(x_1,x_2,…,x_n)をとるn変数多項式f_k(x)を、v_kとxの内積で定義します。この時、Vが全空間を張る時、(n-1)個の多項式の積F(x)=f_0(x)・f_1(x)・…・f_n(x)は多項式として0ではないと予想しました。

（１）これがよく知られた定理ならば名称などの参考情報をご教示下さい。

予想の理由として、F(x)にS(x)・T(x)・(S(x)+T(x))・(S(x)-T(x))の形で表せる多項式の積が含まれる時に限って積が多項式として0となるのではないか（解空間が直交補空間で、その２次元射影空間？）と考えたのですが、

（２）それが誤りならば、反例をご教示下さい。

※文芸回答可。