【数学の問題？】

Aについて勝つ・同じ・負けるの３つの状態があります

実は勝つ確率と負ける確率は同じです。自分が勝つ確率は相手が負ける確率でもあるわけで、自分が特別有利ではないので、これらは同じでないとおかしいのです。

さて、Ａが同じ確率ですが、ずばり1/3です。　自分がある数字を選んだとき、相手も同じ数字を選ぶ確率は1/3です。(①～③の選択だから）だから1/3

勝つ確率＋負ける確率は1-1/3で2/3。それぞれ同じだから勝つ確率は1/3（負ける確率も1/3)

Bについて同じように勝つ・同じ・負けるの３つの状態があります。

Ｂについては同じ確率は 1/4です。自分がある数字を選んだとき、相手も同じ数字を選ぶ確率は1/4です。(④～⑦の選択だから）だから1/4

したがって勝つ確率は (1-1/4)/2=3/8(負ける確率も同じ）

Aの確率とB確率は独立です。独立とは、Aが勝ったときはBも勝ちやすいとかいう関係がないことです。

このとき、確率はそれぞれが起こる場合の掛け算になります。どうなるかといえば

A勝つ B勝つ = 1/3*3/8 = 1/8

A勝つ B同じ = 1/3*1/4 = 1/12

A勝つ B負け = 1/3*3/8 = 1/8

A同じ B勝つ = 1/3*3/8 = 1/8

A同じ B同じ = 1/3*1/4 = 1/12

A同じ B負け = 1/3*3/8 = 1/8

A負け B勝つ = 1/3*3/8 = 1/8

A負け B同じ = 1/3*1/4 = 1/12

A負け B負け = 1/3*3/8 = 1/8

全部足すと、1になるはずです。

これはもう表を書いてみるのが一番でしょう

左側が自分の引いた数字、上が相手の引いた数字です。自分が勝つ場合を○、負ける場合を×、引き分けを・とします。

Ａの方　　　　　Ｂの方

　①②③　　　　④⑤⑥⑦

①・×○　　　④・×・○

②○・×　　　⑤○・×・

③×○・　　　⑥・○・×

　　　　　　　⑦×・○・

それぞれの組み合わせを数えると

Ａで負ける確率＝3/9＝1/3

Ｂで負ける確率＝4/16＝1/4

両方で負ける場合はこれを掛け合わせて

1/3×1/4＝1/12

同様にＡで勝つ＝1/3

　　　Ｂで勝つ＝1/4

なので両方勝つのは1/12です

「Ａのみ勝つ」場合はＢは勝とうが負けようが、引き分けでも関係ないので

1/3×12/12＝1/3

になります。

今回は④と⑥のような明らかでない勝敗は引き分けとしましたがもし引き分けでない場合は・を○とか×にして計算してください

確率の基本は

（条件に当てはまる数）/（全体の数）

です。

URLはダミーです。

ＡとＢで別々に考えると分かり易いと思います。

また、このルールでは有利不利がないので、まず「引き分けになる確率」を求めた後、１からこの確率を引き「勝敗が決まる確率」を出した上で、自分と相手で二等分する、と考えるのが早道です。こうすれば具体的な数字の組み合わせを考えなくとも、答えが出せます。

1) Ａについて

a.二人とも同じ数字となる確率・・・1/3

友人と二人で数当てゲームをやると考えてください。友人が１・２・３から数字を選んでいるとします、これをあなたが当てようとすれば、当然、１か２か３の三択なので、単純に1/3の確率で当たると言えます。

b.一方がもう一方に勝つ確率・・・・1/3

もともと、二人の勝つ確率は当然同じなので、1 - 1/3を2で割った1/3が答えとなります。

2) Ｂについて

a.二人とも同じ数字となる確率・・・1/4

Ａの時と同じ考え方をします。すると４・５・６・７のいずれかが友人の答えなので、単純に1/4の確率と分かります。

b.一方がもう一方に勝つ確率・・・・3/8

もともと、二人の勝つ確率は当然同じなので、1 - 1/4を2で割った3/8が答えとなります。

以上から、次のような結果になると思います。

『両方とも相手に勝つ確率』は、1/3 * 3/8 = 1/8

『両方とも相手に引き分ける確率』は、1/3 * 1/4 = 1/12

『Ａのみ相手に勝ち、Ｂでは負ける確率』は、1/3 * 3/8 = 1/8

『Ａのみ相手に勝ち、Ｂでは引き分ける確率』は、1/3 * 1/4 = 1/12

『Ａでは引き分け、Ｂのみ相手に勝つ確率』は、1/3 * 3/8 = 1/8

ちなみに、『両方とも相手に負ける確率』の様に、自他が入れ替わっただけの確率は省いています。このように上記の確率には、自他を入れ替えた二通りが存在しますが、ただ『両方とも相手に引き分ける確率』のみは一通りしかありません。

これを踏まえて検算してみます。

『両方とも相手に引き分ける確率』以外の確率を足すと

1/8 + 1/8 + 1/12 + 1/8 = 11/24

これらの確率は、自他を入れ替えた二通りがあるので、２倍すると 11/12

これに一通りしかない『両方とも相手に引き分ける確率』1/12を足すと、１となり検算完了です。

難しそうに見ますが　①＜②＜③＜①　これはじゃんけんですよね？

①＝グー　②＝　チョキ　③＝パー

じゃんけんの確立は1/3ですからまずAの勝負は1/3と

勝負は1/2ですから　ここで引き分けだけを考えると

同じように④＜⑤＜⑥＜⑦＜④の関係があるなら同じ数字が出る確立は1/4　残りが勝ち負け

Aの引き分けは　1/3

Bの引き分けは　1/4

つまり両方の引き分け率は1/12です

さらに細かくするとBの内部で引き分けが1/4なら残り（3/4）が勝負けになります

グーのときB内部は　勝　3/8　負　3/8　分　1/4

パーのときB内部は　勝　3/8　負　3/8　分　1/4

チョキのときB内部は　勝　3/8　負　3/8　分　1/4

こう考えればあとは簡単な確立ですね

http://www.hatena.ne.jp/ダミー:detail]

Bについての引き分け条件がはっきりしたので整理しましょう。

Aについては、例えば自分がA1を選んだとき、相手2通り(A1～A3)のうち

A1のみ引き分けで、引き分け確率1/3です。これは自分がどれを選んでも同じ。

残りが勝つか負けるか半々なので、

勝(負)確率＝（1-引き分け確率)/2＝1/3 となります。

全体を表に書くと、

＼自

相＼１２３

１‐△○△

２‐×△○

３‐△×△

(自分が勝つ→○、自分が負け→×、引き分け→△)

Bについては、例えば自分がB4を選んだとき、相手4通り(B4～B7)のうち

B4,B6が引き分けなので、引き分け確率1/2。これは自分がどれを選んでも同じ。

勝(負)確率＝（1-引き分け確率)/2＝1/4 となります。

全体を表に書くと、

＼自

相＼４５６７

４‐△○△×

５‐×△○△

６‐△×△○

７‐×△×△

そうすると、各ケースの確率は

A勝B勝=1/3*1/4=1/12

A勝B負=1/3*1/4=1/12

A勝B分=1/3*1/2=1/6

A負B勝=1/3*1/4=1/12

A負B負=1/3*1/4=1/12

A負B分=1/3*1/2=1/6

A分B勝=1/3*1/4=1/12

A分B負=1/3*1/4=1/12

A分B分=1/3*1/2=1/6

検算:1/6*3+1/12*6=1/2+1/2=1

両方勝ち(負け)の確率は1/12です。

ちなみに、回答0の両方勝ち(負け)の確率は1/8という値は、例えば自分B4に

対して、引き分けでない相手の選択がB5,B6,B7の３通りになり、最初明らか

でなかったB4対B6引き分けのケースが紛れ込んでいるのが原因です。

(Bについて勝(負)確率＝（1-引き分け確率)/2 を計算するとき ３(奇数)通り

分について確率を勝ち負けで真っ二つにすると、同じ出し方で勝ちもあれば

負けもあるという事になってしまいます。)

両方勝つ（負ける）に関しては回答1,3,4は引き分けをA,Bそれぞれ1/3,1/4ということを基準として考えてますが、これだと補足にあるように④と⑥のような引き分けを数えられていなくＮＧです。よって回答2の1/8が正解だと思います。が、Ａのみ勝つ（負ける）場合は、Ｂは引き分けるか負け（勝た）なければいけないので、

1/3 * ( 1 - 1/4 ) = 1/4

ではないでしょうか？

同様にＢのみ勝つ（負ける）は、

(1 - 1/3 ) * 1/4 = 1/6

です。

ダミーですがよろしかったらご覧ください

Ⅰ・自分の選んだ数字が両方とも相手に負ける組み合わせ。

全体の組み合わせは、まずＡ・Ｂの中から１つずつ選ぶので３×４＝１２になります。

ところが二人の人間が同様に選ぶわけですから１２×１２＝１４４になります

①のうち両方とも相手に負ける組み合わせはＡについては①＜②・③　②＜③よって３通り。Ｂについては①＜②～④　②＜③・④　③＜④よって６通り。よって両方負けるのは３×６＝１８通り

∴１８／１４４＝１／８です

Ⅱ両方勝つ確率もⅠと同様にⅠ／８になります

ⅢＡのみ相手に勝つ確率

上記Ⅰの考え方を応用すれば、

Ａで勝つ確率は３／（３×３）＝Ⅰ／３

Ｂで勝つ確率は６／（４×４）＝３／８

∴（Ⅰ／３）×（１－３／８）＝５／２４

ⅣＢでのみ勝つ確率は

（１―１／３）×３／８＝１／４となります

http://www.hatena.ne.jp/ダミー2回目:detail]

回答５の補足です。

Aのみ勝つ、Bのみ勝つも問われているのを忘れていました。

＞そうすると、各ケースの確率は

＞A勝B勝=1/3*1/4=1/12

＞A勝B負=1/3*1/4=1/12

＞A勝B分=1/3*1/2=1/6

＞A負B勝=1/3*1/4=1/12

＞A負B負=1/3*1/4=1/12

＞A負B分=1/3*1/2=1/6

＞A分B勝=1/3*1/4=1/12

＞A分B負=1/3*1/4=1/12

＞A分B分=1/3*1/2=1/6

＞両方勝ち(負け)の確率は1/12です。

Aのみ勝つは、上の一覧から「Aで勝っており、かつBで勝っていない」

ケースの確率を合計すればいいので、

A勝B負の確率＋A勝B分の確率＝1/12+1/6=3/12=1/4

です。

Bのみ勝つは、同様に「Bで勝っており、かつAで勝っていない」ケースの

確率を合計して

A負B勝の確率＋A分B勝の確率＝1/12+1/12=2/12=1/6

となります。

つまり回答６と同じ。

＞そうなんですよね、自分も相手も１２通りあるので「ＡＢ両方とも勝つ（負ける）組み合わせ」は自分も相手も１組づつしかないんで、

＞1/12×1/12＝1/144

＞と思ったんですが・・・違うのかな？(汗

たしかに、全体の組み合わせは144とおりです。

回答5の表でも、Aの勝負について９通り、Bの勝負について16通りの

マスがあるので、9*16=144が組み合わせの総数です。

でも、AB両方勝つケースは1/144じゃないです。

Aについて1,2,3のどれを選んでも、相手に勝つ組み合わせが１つあり、

Bについても、4,5,6,7どれを選んでも、相手に勝つ組み合わせが１つあります。

具体的な例で考えると、まずAの勝負は普通のジャンケンですから

自分A1対相手A3、自分A2対相手A1、自分A3対相手A2の3通りで自分の勝ち。

これとは独立して、Bの勝負については

自分B4対相手B7、自分B5対相手B4、自分B6対相手B5、自分B7対相手B6

の4通りで自分が勝ちます。

つまり、自分がABを選ぶ3*4=12通りのそれぞれについて、相手がABを選ぶ

12通りのうち1つが両方で勝つのです。従って12*12=144のうち12が勝ちます。

くどくなるのを承知で、同じことを確率で言うと…

Aは9通りのうち3通りで勝つので確率1/3で勝ち（ジャンケンと同じ）、

Bは16通りのうち4通りで勝つので、確率1/4で勝ちです。

9*16の144通りのうち、3*4の12通りで両方とも勝つので、

両方とも勝つ確率は 12/144=1/12。

ところで、回答7はiiの説明で三つ巴、四つ巴になっていないのでは…？

あ～回答権満了です。もし終了しても納得いかない場合は、いわしで。

このケースの四つ巴じゃんけんは、鼠＜猫＜犬＜象＜鼠…とかにして、

同値と犬VS鼠と猫VS象が引き分けといった感じですかねー。