半径aの円に内接する三角形があります。
この三角形の各辺の中点を通る円があります。
この円の面積をaを使って表して下さい。
No.2
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外側の三角形と、この各辺の中点を結んだ内側の三角形は2:1で相似になる。
正弦定理を考えると、2つの三角形に外接する円の相似比は2:1、よって面積比は4:1なので、求める面積は
これでいかがでしょう？
No.4
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答はπ(ａ/２）^２ですね。
三角形の各辺の中点を結んで作った小さな三角形は、
内側の小さい円に内接する三角形です。
この小さな三角形は元の大きな三角形と相似で、
相似比は２：１です。
よって、大きい円と小さい円の半径の比も２：１となるので、
小さい円の半径は（ａ/２）です。
これより、円の面積は答はπ(ａ/２）^２
No.5
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三角形の各辺の中点を結ぶと元の三角形と相似比2：1の三角形ができる。
求める円の面積はこの三角形に外接する円なので、元の円との相似比も2:1。
よって面積比は4:1。元の円の面積はπa^2なので、求める円の面積はπa^2/4
No.6
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答えは です。もちろん、これは三角形がどんな形でも同じです。
証明の概略は以下のとおり:
△ABCをあたえられた三角形とします。この外接円の面積はです。
辺BC,CA,ABの中点をそれぞれ D,E,Fとします。DEFをとおる円の面積がこの問題の回答ですが、これは△DEFの外接円の面積としても同じです。
ここで△ABCと△DEFは相似で、比率は 2:1です。
∵中点連結定理により辺ABと辺DEは平行。別の二辺についても同じことが言え、これから頂点A,B,Cの角度はそれぞれ頂点 D,E,Fの角度と等しいため。
また、中点連結定理により辺の比率が 2:1であることも導かれる。
よって、「△DEFと外接円」は「△ABCと外接円」に相似で 1/2の大きさです。
よって、求める面積 (△DEFの外接円) は△ABCの外接円の (1/4)倍になります。
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コメント（12件)
もしかして正解は
π（a/2）^2
か？
π・ａ＾２／４
でいいと思う。
内接三角形は正三角形である必要がある．
そのため，半径aの円の中心O1と三角形の各辺の中点を通る円の中心O2は同じ点である．
三角形の頂点と円の中心を結ぶ線分は半径aに等しい．
また，三角形の辺の中点と円の中心を結ぶ線分は三平方の定理より，a/2となる．
これは三角形の各辺の中点を通る円の半径である．
よって，三角形の各辺の中点を通る円の面積は，
π*(a/2)^2
となる．
>内接三角形は正三角形である必要がある．
そんなことないでしょ。別に内接三角形は、二等辺三角形だって鈍角三角形だって鋭角三角形だっていいと思うのですが。
「内接三角形の各辺の中点」を通る円が描けないような気がするのですが・・・
該当する点は３つあるわけです。
任意の３点は、どのような位置関係の３点（同じ位置でなければ）であっても、３点を通る円は書けますよね。
よって、内接三角形に条件はないと思います。
任意の内接三角形です。
正三角形である必要はありません。
そうですね．正三角形である必要性はないですね．
A(acosα,asinα)
B(acosβ,asinβ)
C(acosγ,asinγ)とおく。α、β、γはそれぞれ異なるものとする。
ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの中点をそれぞれＰ，Ｑ，Ｒとすると
P((acosα+αacosβ)/2,(asinβ+αasinβ)/2)
Q((acosβ+acosγ)/2,(asinβ+asinγ)/2)
R((acosγ+acosα)/2,(asinγ+asinα)/2)
＊＊＊
ＰＱＲの外接円を求める。
ＰＱの垂直二等分線の式：＿＿＿＿＿
ＱＲの垂直二等分線の式：＿＿＿＿＿
この二本の直線の交点は：(,)
同様にして、、、、
＊＊＊
これでいいのかな。
三角形の面積比がそのまま円の面積比になります。
三角形の面積比は４：１なので…