再質問になります。
命題「x＞0ならば、あるyについてxy＞0である」
に関して質問します。
逆 ：「あるyについてxy＞0ならば、x＞0である」
裏 ：「x≦0ならば、あるyについてxy≦0である」
対偶：「あるyについてxy≦0ならば、x≦0である」
で正しいでしょうか。
それとも、
逆 ：「あるyについてxy＞0ならば、x＞0である」
裏 ：「x≦0ならば、全てのyについてxy≦0である」
対偶：「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」
が正しいでしょうか。
それとも、それ以外でしょうか。
どうぞよろしくお願い致します。
No.1
3542
140
命題が真なら、対偶も真ならなければおかしいので、
質問文の２つとも対偶ではないと思います。
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x＞0ならば、あるyについてxy＞0である
をいかに直してみました
X>0ならば、XY>0であるYが存在する
対偶
XY>0であるYが存在しないのなら、X>0でない
あってるかどうかは分かりません。
No.2
20448
命題「あるｘについてP」
の否定は
「全てのｘについてPでない」になります。
したがって
「あるyについてxy＞0である」
の否定は
「すべてのyについてxy≦0である」
です。
【ケース1】
逆 ：「あるyについてxy＞0ならば、x＞0である」
裏 ：「x≦0ならば、あるyについてxy≦0である」
対偶：「あるyについてxy≦0ならば、x≦0である」
【ケース2】
逆 ：「あるyについてxy＞0ならば、x＞0である」
裏 ：「x≦0ならば、全てのyについてxy≦0である」
対偶：「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」
【ケース3】
それ以外
とすると、どれであるとおっしゃってくれていますでしょうか。
また、
> 命題「あるｘについてP」の否定は「全てのｘについてPでない」になります。
というのはなんとなくそうかなという気もするのですが、ちょっとわからないので補足してくれれば嬉しいです。
引き続き回答をお待ちします。
No.3
781
「x＞0」の否定は「x≦0」
「あるyについてxy＞0である」の否定は
「xy>0であるyは存在しない」＝「全てのyについてxy≦0である」
よって
逆 ：「あるyについてxy＞0ならば、x＞0である」
裏 ：「x≦0ならば、全てのyについてxy≦0である」
対偶：「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」
となります。
ありがとうございます。１つ追加質問します。
命題「x＞0ならば、あるyについてxy＞0である」は私は真だと思っています。
よってそれが正しいなら、その対偶も真に必ずなります。
さて、endeavor様の対偶は「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」です。
このendeavor様の対偶の真偽は「偽」になってしまいませんか？
No.4
20448
「飲み会にある女の子が来る」の反対は
「飲み会に来るのは全員男」ですね。
というわけで、
【ケース2】
とおっしゃってくれています。
前の回答にはポイントはなしでOKです。
ありがとうございます。ita様の意見ではケース2が正しいということですね。
追加でendeavor様と同じ質問を致します。
ケース2が正しいとした場合ですが、
命題「x＞0ならば、あるyについてxy＞0である」は私は真だと思っており、よってそれが正しいなら、その対偶も真に必ずなります。ita様の対偶（ケース2の対偶）は「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」ですが、ita様の対偶（ケース2の対偶）の真偽は「偽」になってしまいませんか？
差し支えなければコメント欄でも構いませんので、ご意見頂ければ幸いです。
No.5
781
100pt
3.のレスへの回答です。
「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」(A)は背理法で証明できますよ。
まず(A)を否定して「全てのyについてxy≦0であり、x>0であるxが存在する」(B)と仮定します。
(B)はy=1の時も成り立つので
y=1 の時：(B)は「x≦0であり、x>0であるxが存在する」となります。
この命題は明らかに矛盾しています。
よって「全てのyについてxy≦0であり、x>0であるxは存在しない」は真です。
したがって「全てのyについてxy≦0ならば、x≦0である」は真です。
（証明終わり）
ちなみに「全てのyについてxy≦0ならば、x≧0である」も同様にy=-1と置いてやると証明できます。
つまり「全てのyについてxy≦0ならば、x＝0である」ということです。
（これの対偶は「x≠0ならば、あるyについてxy＞0である」）
ありがとうございます！
命題は真、対偶が偽となってしまうと思い、悩んだ末した質問でした、
対偶は真だということがよく理解できました。
KUROX
2007/10/14 19:50:40
421
377
juic
yoshifuku
ita
yo-kun
1
1
2
すいません、
命題は「x＞0ならば、あるyについてxy＞0である」で確定ですので変更なしでお願いします。
この命題に対する、逆、裏、対偶についての質問です。