数学のバイト教師です。ある入試問題を見たら次のような問題がありました。

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wanisankamesan

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学習・教育

数学のバイト教師です。ある入試問題を見たら次のような問題がありました。

h(x)=x^2cos(x) － sin^2(x), g(x)=x^2sin^2(x)
と置くとき、lim[x→+0]{h(x)/g(x)}
極限値を求める問題ですが、私は当初ロピタルの定理と使って解けそうと思い、h(x)、g(x)の3次導関数まで求めてみましたが、複雑になる一方で不定形（0/0形）が解消しそうにありません。ロピタルの定理以外での解法が正解かもしれませんがそうなら益々判りません。どなたか解析に強い方、解答までを教えてください。

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登録：2008/08/29 12:20:12
終了：2008/08/30 00:03:26

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No.1

yo-kun220302008/08/29 14:43:30

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ロピタルの定理でいけますよ。あと一回でした(^^;

h(x),g(x)ともに4階導関数まで求めてみてください。

$\frac{d^4h(x)}{dx^4}=-12\cos{x}+8x\sin{x}+x^2\cos{x}+8\cos{2x}$

$\frac{d^4g(x)}{dx^4}=24\cos{2x}-32x\sin{2x}-8x^2\cos{2x}$

となると思います。

よって

$\lim_{x\to+0}({\frac{d^4h(x)}{dx^4}/\frac{d^4g(x)}{dx^4})=-\frac{1}{6}$

ですから、ロピタルの定理より

$\lim_{x\to+0}(h(x)/g(x))=-\frac{1}{6}$

ところで入試問題とありますが大学入試問題でしょうか？

大学入試だとしたら高校数学でロピタルの定理は(公式には)習わないと思うので

これ以外にどのようにして解くのか気になります。

それとも今の高校生はロピタルの定理を習うのでしょうかね？

URLはダミーです

http://q.hatena.ne.jp/

4階まで求めさせるとは！！

しんどい問題です。

2008/08/30 00:02:24

No.3

rsc45044372008/08/29 22:39:24

26pt

　級数展開すると、

　sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+・・・

　cos(x)=1-x^2/2+x^4/4!-x^6/6!+・・・

∴ｘ→+0のとき、sin(x)→x, cos(x)→1-x^2/2

h(x)/g(x)→{x^2(1-x^2/2)-(x)^2}/{x^2(x)^2}

＝{x^2-x^4/2-x^2}/{x^4}

＝{-x^4/2}/{x^4}

＝-1/2

http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node98.htm...

テーラー級数の中味までありがとうございました。

2008/08/30 00:02:53

yo-kun 2008/08/30 00:35:13

念のため。
お二人ともh(x)のx^4のオーダーの近似評価を間違えてますよ。

sin(x)≒x-x^3/3…なので
sin^2(x)≒x^2-2x^4/3…となり
h(x)≒-x^4/6…です。
ita 2008/08/30 01:54:02

あちゃーそうですね。
失礼しました。
rsc 2008/08/30 12:24:24

(x-x^3/6+...)(x-x^3/6+...)=x^2-x^4/3+...
h→x^2(1-x^2/2)-(x^2-x^4/3)=x^2-x^4/2-x^2+x^4/3=-x^4/6
　yo-kunさんの言うとおりのようです。ところで、高校生はどう解くのだろう。これまた、面倒そうですね。（＾＾；
くろょ 2008/09/15 15:29:10

初等的に解く方法考えてみました。
もし、高校生がマクローリン展開を習っていれば（習ったような気がするのですが）、

・まず、極限値が有限である二つの関数があった場合、極限値の積は、関数の積の極限に一致するという定理がありますので、与式に極限値が1である関数(sin(x)/x)^2を掛けます：これで分母からsin^2(x)を消去する事ができます。

・分母はx^4になりますから、分子を４次までの多項式と５次以上のベキ級数の和に分けて、４回微分して、４次までの係数を決定します。sin^2(x)の項は、倍角公式で(1-cos2x)/2にしておいた方が、計算が簡単かもしれません。

・すると、３次までの係数は0、４次の項だけに係数-4/4!=-1/6がありますので、求める極限値は-1/6となります。

　　　 - bookmarks for the day 　　　 2008-08-31 03:51:31

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くろぐ改めくろょろぐ - メモ 2008-09-05 00:39:24

メモ数学のバイト教師です。ある入試問題を見たら次のような問題がありました。 h(x)=x^2cos(x) ? sin^2(x), g(x)=x^2sin^2(x) と置くとき、lim[x→+0]{h(x)/g(x)} 極限値を求.. - 人力検索はてな

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ita · Accepted Answer · 2008-08-29T18:34:36+09:00

テイラー展開を使えば

h(x) ~ x^2(1-x^2/2) - x^2 = -x^4/2

g(x) ~ x^4

となるんですぐ分かるんですが、高校で使っていいものかどうか。根性で4回まで微分すればよかったんですね^^

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%B...

ita · Accepted Answer · 2008-08-29T18:34:36+09:00

テイラー展開を使えば

h(x) ~ x^2(1-x^2/2) - x^2 = -x^4/2

g(x) ~ x^4

となるんですぐ分かるんですが、高校で使っていいものかどうか。根性で4回まで微分すればよかったんですね^^

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%B...

数学のバイト教師です。ある入試問題を見たら次のような問題がありました。

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ita204482008/08/29 18:34:36

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yo-kun220302008/08/29 14:43:30

ita204482008/08/29 18:34:36ここでベストアンサー

rsc45044372008/08/29 22:39:24

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