前回に続いてまた似たような質問をさせていただきます。大学受験数学の「場合と数・確率」の分野の問題。重複組み合わせ問題「４桁の正の整数ABCDの個数　９≧A≧B≧C≧D≧０　を満たす場合についての個数を求めよ」を『○と｜（仕切り線）』を使って解く場合、どのように考えたらよいでしょうか？例えば{1,1,1,1},{1,2,3,1},{3,5,3,6},{9,9,9,9}の場合○と仕切り線はどうなりますでしょうか？宜しく御願い致します。

　4けたの正の整数だから、Aが0になる{0,0,0,0}の場合を後で、引くことにして、まず、{0,0,0,0}の場合も含めて考えます。

　選び出す4個のものをすべて「○」で表し、10種類の区別を10-1＝9個の仕切り「｜」でつけることにします。1番目の仕切り「｜」の左側の「○」は、「0」を表し、1番目と2番目の仕切り「｜」の間の「○」は「1」、2番目と3番目の仕切り「｜」の間の「○」は「2」、同様にしていって、・・・、そして、9番目の仕切り「｜」の右側の「○」は「9」を表すことにすれば、例えば、次のように状態を表すことが出来ます。cf.　0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9

{1,1,1,1}→｜○○○○｜｜｜｜｜｜｜｜

{1,2,3,1}→｜○○｜○｜○｜｜｜｜｜｜　←{1,1,2,3}と同じ∵{ }の中は順番は自由。

{3,5,3,6}→｜｜｜○○｜｜○｜○｜｜｜　←{3,3,5,6}と同じ

{9,9,9,9}→｜｜｜｜｜｜｜｜｜○○○○

　求める場合の数は、4個の「○」と9個の仕切り「｜」の並び方の数から1引いた数に等しい。

よって、(10+4-1)個の場所から「○」が並ぶ4個の場所を選ぶ組合せの数は、(10+4-1)Ｃ4＝13Ｃ4＝(13・12・11・10)/(4・3・2・1)＝715

　最後に、1を引いて、求める場合の数は、715-1=714

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/repeat/repeat.htm