【大学受験数学】次の数学の問題の解説をお願いします。

• B-10

Bと同じ仕事をAは2/3の速さでするので、Aの仕事率とBの仕事率は３：２となる。

仮にAが１日にする仕事を３とするとBは２することになり、

２人が１５日でする仕事量は

３×１５＋２×１５＝７５となる。

これをAは１日に３の仕事をするので７５の仕事を１人ですると

７５/３＝２５

で２５日かかる。

• C-5

3つの式からxは次の３つの式で表せれる

x=(111-a)/b → bx=111-a・・・A

x=(137-a)/c → cx=137-a・・・B

x=(176-a)/d → dx=176-a・・・C

Bの両辺からAの両辺を引くと

(c-b)x=26

Cの両辺からBの両辺を引くと

(d-c)x=39

Cの両辺からAの両辺を引くと

(d-b)x=65

さらに右辺を素数分解すると

(c-b)x =2×13

(d-c)x=3×13

(d-b)x=5×13

ここでxは整数であり、c-b、d-c、d-bも整数であるから

x=13ということがわかる。

• C-7

サイコロを振って奇数が出る確率と偶数が出る確率はともに１/２である。

２つの数を掛け合わせて奇数となるのは奇数と奇数を掛け合わせたときだけなので

1/2×1/2＝1/4

　どちらかというと、公務員試験に出て来そうな問題ばかりですが。(^_^;

問題番号[B-10]

　全体の仕事量をWとして、Ａ１人でする日数をｘ、Ｂ１人でする日数をｙ、A1人の1日当たりの仕事量をａ、B一人の1日当たりの仕事量をｂとすると、

15(a+b)=W・・・①

x=(2/3)y・・・②

ax=W・・・③

by=W・・・④

①から、a+b=W/15・・・⑤

③から、a=W/x・・・⑥

④から、b=W/y・・・⑦

⑥⑦を⑤に代入して、a,bを消去すると、

W/x+W/y=W/15

W≠0だから、

1/x+1/y=1/15・・・⑧

②から、3x=2y

∴2/x=3/y・・・⑨

ここで、1/x＝ｐ、1/y=qとおくと、

⑧から、p+q=1/15・・・⑩

⑨から、2p=3q・・・⑪

⑩×3より、3p+3q=1/5

これに⑪を代入して、

3p+(2p)=1/5

∴5p=1/5

∴p=1/25

∴x=1/p=25[日]

問題番号[C-5]

　ある数をｘ、余りをｙとして、次のように式で表してみると、

111=ix+y・・・①

137=jx+y・・・②

176=kx+y・・・③

②－①

(j-i)x=26=2･13・・・④

③－②

(k-j)x=39=3･13・・・⑤

④⑤から、公約数をとって、13

実際に、それぞれを割ってみると、

111÷13＝8・・・7

137÷13＝10・・・7

176÷13＝13・・・7

以上より、求める数は13

問題番号[C-7]

　出る目の数の積が奇数になるのは、1回目、2回目ともに奇数が出る場合であるから、

3/6×3/6＝1/2×1/2＝1/4

問題番号[B-10]

Ａ，Ｂ2人ですると１５日かかる仕事をＡ1人で

すると、Ｂ１人でする日数の 2/3 で出来上がる。

Ａ１人では何日かかるか。

仕事量をW、Aの１日の能力をa/day、Bの１日の能力をb/dayとする。

Ａ，Ｂ2人ですると１５日かかる仕事は

W=15(a+b)①

と表される。

その仕事をＡ1人でする日数をN、Ｂ１人でする日数をMとすると

W=Na②

W=Mb③

N=2/3M④

となる。

②③④から

2/3a=b ⑤

①に⑤を代入して

w=15(a+2/3a)=25a

よって２５日

問題番号[C-5]

111, 137, 176 の３つの整数をある整数で割ると、

いずれも割り切れず余りがどれも

等しくなる。ある整数を求めよ。

ある整数をN、余りをXとする。

①111=A*N+X

②137=B*N+X

③176=C*N+X

と書ける。A,B,Cは任意の整数。

③-②、②-①でXを消去すると、

69=(C-B)*N

26=(B-A)*N

となり69と26を因数分解し共通の13を解とする。

問題番号[C-7]

２つのサイコロを同時に投げたとき、

出る目の数の積が奇数になる確率を求めよ。

サイコロの奇数と偶数の組み合わせは

奇数　奇数

奇数　偶数

偶数　奇数

偶数　偶数

の4通りでそれぞれの積は

奇数x奇数=奇数

奇数x偶数=偶数

偶数x奇数=偶数

偶数x偶数=偶数

となり奇数になる確率は1/4となる。

[B-10]

AはBの2/3の日数でできあがると言うことは、

同じ日数働いた場合は、AはBの3/2倍の仕事をこなせることになる。

したがって、15日でのAとBの作業量の比率は3:2と言える。

よって、Aは15日で3/5の作業をこなすことになるため、

残りの2/5の作業をこなすには10日必要であることが分かる。

したがって、A1人で仕事をすると、25日かかる。

[C-5]

111-n, 137-n, 176-nが、ある数の倍数であるという問いと等価である。

倍数同士の差は倍数になるため、

(176-n)-(137-n)=176-137=39
(137-n)-(111-n)=26

26と39の最大公約数13が素数であるため、求める唯一の値である。

なお、共通の余りは7となる。

[C-7]

奇数になる条件は、両方のサイコロの目が奇数であることである。

一方が偶数なら、積は偶数。

両方が偶数でも、積は偶数となる。

したがって、求める確率は、3/6*3/6=1/4である。

[B-10]

Ａひとりでa日で仕事をできるとすると、Ａは１日で仕事(仕事全体は１)の1/aをすることができる。

Ｂひとりではa*3/2=1.5a日掛かるので、Ｂは１日で仕事の1/1.5aしかできない。

Ａ，Ｂ2人では、１日で(1/a)+(1/1.5a)の仕事ができ、15日で完成するので、

{(1/a)+(1/1.5a)}*15=1

これを解いて、a=25(日)

[C-5]

ある整数をkとすると、

(1) 111=k*p1+q

(2) 137=k*p2+q

(3) 176=k*p3+q

ここで、p1,p2,p3はそれぞれの割り算の商、qは等しい余りである。

(1),(2)より

(4) 26(=13*2)=k*(p2-p1)

(2),(3)より

(5) 39(=13*3)=k*(p3-p2)

(1),(3)より

(6) 65(=13*5)=k*(p3-p1)

(4),(5),(6)よりkは26,39,65の共通の約数でないといけないので、kは1か13のいずれかである。

k=1とすると余りがでなくなるので、ある整数k=13となる。

[C-7]

２つのサイコロの出る目の数の積が奇数になるためには、２つのサイコロの出る目が奇数でないといけない。

一方のサイコロの出る目が奇数である確率は1/2、他方のサイコロの出る目が奇数である確率も1/2なので、

求める確率は(1/2)^2=1/4