そのものズバリなら

質問への回答にはならないのでコメント欄で失礼しますが、このアプリは驚きですね。
単純に考えると、UIApplicationDelegate の applicationWillTerminate イベントで割り込みを入れて、
アプリケーションの終了を阻止するのではないかと思われますが、アプリの終了を阻止するようなコマンドはありません。
同様にPushイベントの処理でも、アプリを再起動させるまではできません・・・。

というのもこれをうまく悪用すればウイルスもどきが作れてしまうわけですので。（アプリを終了したくても終了させてくれないウイルス）
もし悪意をもっていなかったとしても、何かの誤作動でそういった動作をしてしまう可能性もあります。
もちろん審査の際にそういった悪質なアプリははじけば良い分けですが、Appleがわざわざそんなリスクを犯すとも思えませんし・・・。

本当にスタンダードのAPIパッケージで可能ならば、僕も知りたいですね。

アプリ連携機能はなんとなくあるような
ないような認識でしたが、これは何かに
使えそうな機能ですね。

australiagcさんが言われるように
誤動作の要因になりそうではあります。

できました！
- (void)applicationWillTerminate:(UIApplication *)application
で、自分自身をアプリ連携で呼び出すことで可能でした！

ひえ～、できるんだ！
これは面白い。覚えておきます！