サーチエンジン（Google）で或る日突然Index of と表示されていました。原因はどんなことが考えられますか？

そのディレクトリのindex.htmlが、何らかの原因で消えてしまっているのでは？

index.htmlが無くて、更にパーミッションの設定が適切になされていない場合は「Index of〜」というように、そのディレクトリ内のファイルの一覧が表示されるようです。

（一時期某企業のサイトから顧客情報が流出したのも、この事が原因だったことがあります）

webサーバーの事実上の標準であるApacheは通常そのユーザーデレクトリにリクエストがあった場合、index.htmlなどのindexファイルをリクエストしたユーザー・エージェントに返します。次にindexファイルが見あたらない場合、Index ofとそのユーザーデレクトリ以下のパスをhtmlファイルとして動的に生成します。もし現在そのサイトにアクセスして普通に表示されるのでしたら、たまたまgoogleのロボットが巡回に来たときに、サイトをメンテナンス中かなにかでindexファイルが削除されて見あたらなかったか、スペースや2バイト文字などがファイル名に混入して正常にindexファイルとして認識されずにIndex ofと表示される動的に生成されたhtmlをキャッシュしてしまったと思われます。だとしたらgoogleのロボットが巡回に来るとき（約3ヶ月後）にindexファイルが正常であれば正常に表示されるようになるでしょう。