次のような掲示板プログラム（フリー）を探しています。

OTDの掲示板が近いと思います。

したらばJBBSがいいと思います。

承認・非承認でURLを分けることはできませんが、書き込みを許可する人一人一人にハンドルパスワードを発行することができます。

①④の条件は満たしています。

こちらはどうですか？

承認URL、非承認URLという手順ではないのですが、事前に管理者がチェックして表示という機能はついてるようです。

CJ Clubの「Child Tree」という掲示板はいかがでしょうか？

sendmailの設定がないので、多分メールは届かないと思うのですが・・・

許可制で、管理人が許可しないとメッセージが表示されない掲示板です。

テストしてみたのですが、管理人が管理スペースに入ると、

承認待ちのコメントがあって、それで承認をすると表示される仕組みになっています。

ご希望にあまり添えていないのですが、いかがでしょうか；

PHPBBなんてどうでしょう？

かなり多機能なんで用途にあわせて設定できると思います。

　・フォーラム式掲示板である

　・ユーザー登録型である。（掲示板の設定次第で未登録でも投稿することが可能）

　・ユーザーグループ等が作成可能

　・閲覧・書き込み権限等がユーザーレベルで設定可能

　・管理メニューが豊富

　・専用モジュールの導入で大幅なカスタマイズが可能。

　　モジュールはフリーで配布されている。

　・無料。

２，３の承認非承認は（アクセスだけでは無理ですが）、管理ページにパスワードでログインする必要があり、投稿通知メールの文面に管理ページのURLを書き加えればご要望に近いことができるのではと思います。

デザインカスタマイズは、スキンファイルで可能です。