オイラーの公式ってどんなところがすばらしいんでしょうか？

URLは半分ダミーです。

私にもオイラーの公式の数学的価値というのは良くわからないのですが、実用面からすると、円周率や三角関数を四則演算の繰り返しで求められることを示したことで、コンピュータによる精度の高い算出が可能になったというのが大きいと思います。

(円周率を何10万桁とか求めて何か意味があるの？という議論はあるかと思いますが)

フーリエ変換とかラプラス変換の(ものすごーい)基礎になってます。これらがないと(ディジタル)オーディオの理論とか、センサー技術とかが成り立たないのでそういう意味では礎石みたいなものかもしれません。

過去のはてな質問から、「良回答が集まっていると感じた質問」です。

この本の立ち読みはいかがですか？

オイラーの公式が、フーリエ変換やラプラス変換の基礎になるのは、前述のとおりです。

さらに、無限級数とも結びつきます。

役に立つということですが、それは私事でしょうか。それとも世間一般にでしょうか。

世間一般だと、オイラーの公式を知らなくても幸せに暮らせる人の方が多いわけ[全員が知っている必要はないと思います。]なので

私が役に立った例を示します。

私が直接的に役にたったのは、大学受験の時と、卒業研究で、Wolfenstein Parameterrization といった、カビボ・小林・益川行列の要素をオイラーの公式を使って、ユニタリ三角形を示すのに使いました。

　そういうわけで、私は役に立ちました。

具体的には、

(cosθ1,sinθ1cosθ3,sinθ1sinθ3,

-sinθ1cosθ2,cosθ1cosθ2cosθ3-sinθ2sinθ3e^{iδ},cosθ1cosθ2sinθ3+sinθ2cosθ3e^{iδ}

sinθ1sinθ2,-cosθ1sinθ2cosθ3-cosθ2sinθ3e^{iδ},-cosθ1sinθ2sinθ3+cosθ2cosθ3cosiθ3e^{iδ}

)

がオイラーを使うと[もちろん他のことも使いますよ]、

(1-λ^{2}/2, λ,Aλ^{3}(ρ-iη),

-λ,1-λ^{2}/2,λ^{2}A,

λ^{3}A(1-ρ-iη),-λ^{2}A,1

)

となり、式が美しくなります。

式が美しくなるということは、理解しやすいということです。

上記URLの 11.4式が11.5式のようになります。

オイラーって名前がすばらしい！ｗ

別のところから発祥した指数関数、三角関数が複素数の世界では密接な関係にあり、計算可能になることがすばらしく、虚数の世界での理論上の幾何などに発展寄与するところが役に立つ点の一つだと思います。もっと有ると思いますが

URLはダミー

簡単に思えるのは、複素平面（横軸が実数、縦軸が虚数）を知っているからです。

この関係を知らない時点で、指数関数と実数と虚数の関係が簡単な式で表すことができたのだから、やはりすばらしいです。