ＩＥなどの上でマウスの中ボタンをクリックすると、自動スクロールをする基点(?)が出てきますが、ある日突然それが出なくなりました。

自動スクロール機能は、IEなどの機能ではなくて、マウスドライバーが持っている機能です。マウスドライバーを再インストールすれば直ると思います。

う～ん、それはやはりマウスの故障では？

分解してみるとわかりますが、スプリングがはずれていたりしているのではないでしょうか？結構シンプルな構造してますよ、マウスって。

セーフモードで起動して、コントロールパネルから（管理ツールの）システムよりデバイスマネージャーを表示します。（osにより異なる）

デバイスの中にあるマウス項目を削除します。

キーボードで再起動を選択すれば、次回起動時にマウスドライバーを自動的に認識するのでこれで直るはずですが、直らない場合はお使いのマウスメーカーが配布しているマウスドライバーもしくはユーティリティーを再インストールしてみてはどうでしょうか？