tanxの４乗とtanxの５乗の積分の計算法を教えてください。

こちら↑の漸化式によって求められます。

実際にやってみました。しばらく数学から遠ざかっていたので、自信がないですが……

上記のPDFファイルに計算方法が詳しく述べられていますが…

ここにn乗の場合のがありますので、n=4と5を代入すれば求まります。

ＵＲＬはダミーです。

ポイントは以下の３つです。

・まず与式を(tan^2 x +1)で割る。

・tan^2 x +1=1/cos^2 x（基本性質）

・(tan x)’=1/cos^2 x（タンジェントの微分）

積分定数をCとして、

∫tan^4 x dx

=∫{(tan^2 x -1)(tan^2 x +1)+1}dx

=∫(tan^2 x -1)(1/cos^2 x)dx +∫dx

=∫(tan^2 x -1)(tan x)’dx +x

=∫tan^2 x(tan x)’dx -∫(tan x)’dx +x

=1/3×tan^3 x -tan x +x +C

同様に、

∫tan^5 x dx

=∫{(tan^3 x -tan x)(tan^2 x +1)+tan x}dx

=∫(tan^3 x -tan x)(1/cos^2 x)dx +∫tan xdx

=∫(tan^3 x -tan x)(tan x)’dx +∫sin x/cos xdx

=∫tan^3 x(tan x)’dx -∫tan x(tan x)’dx -∫(cos x)’/cos xdx

=1/4×tan^4 -1/2×tan^2 x -log|cos x| +C

多分これであっているはずです。