1/3は0.333…　2/3は0.666…　では3/3は0.999…でなくてなんで1になるんでしょうか。子供の頃からずっと疑問に思っていました。

書くのが、たぶん面倒だからじゃないですか？

正直、そんなに厳密／緻密なことはこの世では必要にはならないからだと思います。

３／３が

０．９９９９９９９９・・・・・

でも

１

でも

１．０００００００・・・・・・

であっても、あんまり意味はないからでしょう。ぼく自身、上のどれであっても支障をきたすような生活は送っていませんから。

そうやって割り切っていくのがきっと大人の世界なんだと思います。

ただ、個人的には０．９９９９・・・・と１は違うものであってほしいし、、、、ただのボタンの掛け違いではなくね。きっとそこには厳密な違いが存在するもんだと信じてる。

それはappleとリンゴが違うような感じでの差が必ずあると思う。もしくは、モスラとガメラの違いであってもいい。あるいは殺人と慈愛とか。

ある人には、まったく同じように見えても、他の人には違うもののように見えると言うことのほうがやっぱり、事実に近いんだと思います。

１が正解

ズット続くのは、答えが出ないから

曖昧

これを昔流行ったが、ファジイと云う！

1/3は少数では正確に示せないと書きました。

皆様のご意見をと思いましたのであえて新しいツリーを立ち挙げてます。

1/3=0.33333.....

3が永遠に続くのであればこれは正確といえるかもしれません。

しかし、これをイメージできていないわけです。永遠と頭の中で考えながらもその最小のけたをイメージしてその次にも3がと、、いうような、、、つまり、桁で考えるとその次も3ですが、実際はその桁の1/3の位置を示していてそれをその桁で示し切れないからその次の桁があって、それが1/3のイメージなわけです。

そういうわけで、0.33333.....から1/3をイメージし損ねているのです。

もしから1/3がイメージできていれば

0.33333.....+0.33333.....+0.33333.....=1

と書いてしまうでしょう。

0.33333.....は正確にその数値をイメージできないわけです。

ではこれを機械的に計算したとして、

0.99999......はどうでしょう。1がイメージできますか?できないですね。これは無限に9が続くということをイメージできないからです。頭の中で9を並べるとどうしても有限の枠を超えないのです。

ではこんな式を考えて見ましょう。

X(1)=0.9

X(2)=0.99

という関数みたいなもの設定します。X(無限)=0.99999.......となるだけです。

1-X(1)=0.1

1-X(2)=0.01

を考えてみましょうX(n)括弧のなかが有限である限り1-X(n)は必ず最後に1がきます。

nが無限であればどうでしょう。1-X(無限)=0.00000....

0が無限に続くわけですそういうことは最後の1なんてあり得ませんね1-X(無限)=0なわけです。

これが無限に続くという概念と実際の感覚とのギャップです。

1-X(無限)=0ですから

X(無限)=1

0.9999999.......=1なのです。

　ものさしから考えれば、いくら優れたものさしを作る機械であっても電子顕微鏡からみれば必ず誤差はあります。もし、1センチのめもりが、0.9999999999999999999999999センチだとしてもべつに、1センチです。なぜなら、人間の扱える範囲を超えているからです。

　つまり、1センチメートルも0.999・・・センチメートルもおなじと考えていいのです。

つまり、１と0.999…は同じ数を表しているのです。

”9…”は｢途中でわからなくなってうやむやにしている｣という意味ではなく、｢無限に9が続く｣という意味なので。

見た目があまりにも違うのでゴマ化されやすいですが、

｢疑問に思っていた｣ということは正解を直感的に理解していたということですね。おめでとうございます。

ちなみに、数学で正式には9の上に点をつけて表現します。複数桁の循環小数のときは繰り返しパターンの最初と最後に点をつけます。

狭いPHSの画面で読んだので、十進君と十進ちゃんが最初府に落ちなかったのですが、読み返してみて「面白いな」と思いました。

十進君と三進君は私が示したかったことを、とても上手に表現していると思います。

3/3=1＝0.999…は、近似値ではなく正確な表現だと考える理由は、以下のとおりです。

今回の説明でerienaさんになんとなく分かってもらえるのではないかと思うのですが…。ダメだったら、ごめんなさい。

1/3＝0.333 余り0.001

2/3＝0.666 余り0.002

両辺をそれぞれ足して

3/3＝0.999 余り0.003

＝0.999 + 0.003/3

＝0.999 + 0.001

＝1

余りを小数で書くのは、普通じゃないですが、

上記の理屈は、多分誰でも理解できますよね。

1/3＝0.333…

2/3＝0.666…

3/3＝1＝0.999…

の様に…を使った表現は、上記の「余り」を使った表現と同値（つまり、同じことを別の表現にしただけ）だと思うのです。

もし同値ならば、…を使っても、近似値ではなく、正確な値を示していることになると考えます。

小数で「余り」を使うのは、一般的ではない為、通常、計算を続けることになり、…と表現せざるを得ない。

…の中身は、みなさんもご存知のように「永遠に同じ数字が続く」こと。なんの不明確な部分もありません。

「永遠」という表現が不明確だという指摘もあるかも知れませんが、本当に計算上はそうなるのだから、やはり正確な表現です。

ただし、数の大きさとして、実感がもてないから気持ち悪いと思います。

そこで、最初に書いたように「余り」を使った表現に直せば、実感が持てると思います。どちらの表現も正確だと思います。

5回目の回答になってしまいましたので、これで最後ですが、

物語風に説明した

http://q.hatena.ne.jp/1152759792/25731/26190

も参考にして、私の考えをご理解してもらえたら幸いです。

なお、当初は上記と全く別の考えをしておりました。

他の方々のご説明により、上記の理解に至りましたこと感謝しております。

ちなみに、私は専門化ではありませんので、間違っていたら、多分こういうことを言いたいのだろうと善意に解釈してもらえたら幸いです。

３／３というのは

例えば、３つのものを３人に１個ずつあげる場合、

２／３というのは

２つのものを３人にあげる場合、

１／３というのは

１つのものを３人にあげる場合、

の１人あたりのもらえる量に相当します。

３／３であれば１個まるまるもらえます。

２／３であれば約67％分もらえます。

１／３であれば約33％分となります。

ここで、「約」とつけました。

つけた理由は１／３＝0.333･･･が成立しないからです。

なぜなら、0.333･･･+0.333･･･+0.333･･･＝１にはならないからです。

（1/3+1/3+1/3＝１は成立します）

3/3が１になるのがおかしいのではなく、

1/3＝0.333･･･がおかしいのです。

計算機や表記上でとりあえずそう表しているだけと

考えればいいと思います。

割り切れないというのがそういうことです。

　 　 　　　　　　 　　　　　　・

ちなみに0.333･･･＝０．３（３の上にドット）で0.3の後に

無限に３が続くことを意味します。

結論として、3/3＝１を基準にして考えてみてください。

おなじく

（難しい質問ですね...）

　まず、割り算(X÷Y＝Z)をこう考えます。

「X個のリンゴをYつのグループに公平に配分するには、1グループあたりZ個ずつ割り振ればよいです」

　そうすると、「3÷3＝1」は、「3個のリンゴを3つのグループに公平に配分するには、1グループあたり1個ずつ割り振ればよい」となります。

　これを「1÷3＝0.33333…」で考えると、本当はこうなります。

　↓

「1個のリンゴを3つのグループに公平に配分するのは無理です。」

　どうがんばってもリンゴを完全に3分割するのは無理です。

（見た目や重さ、原子レベルで差がでてくるので）

　でも、数学では「計算上は答えは出る！」と言い切るわけなので、「1つのものを3分割すると答えは0.3333…だ」と言うわけなのですが、この場合、小数点以下は無限桁まで「3」が続きます。

　本当は割り切れないんですね。

　しかし、計算問題などで「無限に3を書くのが正解」っていうのはありえないので、適当なところで3を書くのをやめ、切り捨ててしまいます。

　そのため、「1÷3＝0.333…」「2÷3＝0.666…」という回答にしてしまうんですね。

　なので、むしろ疑問を持つべきなのは「3÷3＝1」ではなく、「なぜ1÷3＝0.333…で納得しなければならないか」「なぜ2÷3＝0.666…で納得しなければならないか」であり、その答えは上になります。

「3/3＝0.999…」

でもあり、

「3/3＝１」

でもあります。

「0.999…＝１」

なのです。

そこに疑問が生じるのは「0.999…」という表現、表記にあると思います。

この「0.999…」といのは、「…」のあとにもずっと９が無限に続くという意味ですよね。しかしこの無限にというのはまさに「…」を使ってしかあらわせません。つまり抽象的、イメージ的な表記にならざる負えないということです。

　遺産相続に置き換えてシンプルに想像してみてください。

まず３/３を基本にして考え始めましょう。

親の遺産が同じものが３個あったとすると、

３人の子供のそれぞれの取り分はきちんと

まちがいなく１個づつです。

遺産が２個だったとすると、３つにわけるときに

手間がかかって わずかに手間賃分が目減りする。

遺産が１個だったとすると、３つにわけるときに

これも手間がかかって わずかに手間賃分が目減りする。

３人の子供は、限りなく均等に分けれれば文句がないので、

微小な手間賃の目減り分は、気にならなくて

無視できることになります。

ゆえに1/3は0.333…、2/3は0.666…、3/3は１でよいのです。

>1/3=0.333…　と書いておきながら、

>本当はたまに別の数字が出てきたり、本当はいつか終わったりす

>るなら、ごまかしですよね。

そうですね。無限に3を並べるということが不可能と言いたかったのですが。

だれか説明しているかもしれませんが

X=0.99999......

10x=9.9999999999.......

10x-xを求めてみましょう

筆算形式でかくと

10x(=9.9999999999.......)

-x(=0.9999999999......)

9x =9.0000000000

したがって x=1 (=0.99999......)

これは循環少数を分数になおす計算方法です。

0.99999......を分解して

0.99999......=0.9+0.09+0.009.......

0.9+0.09+0.009.......無限等比級数の和

という公式を使えます。ここで1に収束するといえるのですが、収束をうまく説明できないですね。ちょっと調べながら考えてみます。

きっとまだごまかされたような感じではないでしょうか?

エクセルの件は0.1が2進数で有限の桁で表現できない(循環少数になる)ということから起きる問題ですね。

もう少し一般化すると、どんな基数(ただし2以上の自然数)を採用しても、有限の桁で少数表現できない有理数が必ず存在します。

その典型が(n＋1)進数での1/nで、必ず0.1111…となります。

これにnをかけると0.nnnn…という表記になってしまいます。

ところが同じ計算をn進数で書くと

0.1×10＝1

になることがわかります。

0.9999…＝1

は証明するようなものではなくて、少数点表記がかかえる限界の発露だと私は思っています。

quintiaさんの解説を見て、本質的に分かった気がします。

私の理解を次のような物語風の説明にしてみました。

お時間が合ったら、読んでみて下さい。

●先生が十進君と三進君に言いました。

　「１個のりんごを３人に平等に分けなさい。」

十進君は、いつでも１０個に分けてから考えます。

まず、１０個に切り刻みました。それを３人に３切れずつ渡すと、１切れ余りました。

次に、その余った１切れをさらに１０個に分け、それを３人に３切れずつ渡すと、１切れ余りました。

次に、…。

いつまでも終わりません。

三進君は、いつでも３個に分けてから考えます。

１個のりんごを３個に切り分け、３人に１切れずつ渡しました。

●先生が十進君と三進君に言いました。

　「１個のりんごを２人に平等に分けなさい」

三進君は、いつでも３個に分けてから考えます。

まず、３個に切り刻みました。それを２人に１切れずつ渡すと、１切れ余りました。

次に、その余った１切れをさらに３個に分け、それを２人に１切れずつ渡すと、１切れ余りました。

次に、…。

いつまでも終わりません。

十進君は、いつでも１０個に分けてから考えます。

あっさり１個のりんごを１０個に切り分け、２人に５切れずつ渡しました。

●先生が十進君（６年生）と十進ちゃん（１年生）に言いました。

　「１個のりんごを１人に平等に分けなさい。」

十進君は、いつでも１０個に分けてから考えます。

でも、何年も勉強してきました。今回は分ける必要のないことくらい経験上知っています。

１個のりんごをそのまま、１人に渡しました。

十進ちゃんは、いつでも１０個に分けてから考えます。

まず、１０個に切り刻みました。

「せっかく切ったのに、すぐに全部渡すのは嫌！後で渡すなら一緒ですよね？」

先生は言いました。「絶対に自分で食べたりしちゃダメですよ。守れるならいいです。」

先生の許可を得た十進ちゃんは、１切れ手元に残して、１人に９切れ渡しました。１切れ余りました。

次に、その余った１切れをさらに１０個に分け、それを１人に９切れ渡すと、１切れ余りました。

次に、…。

いつまでも終わりません。

でも、十進ちゃんは、決して自分で食べたりしてませんから、間違ったことをしている訳ではありません。

●考察

通常私たちは、学校教育のせい（か）で１０個に分ける癖（１０進法で考える癖）が着いているんですね。

でも、よく考えると２個に分けて考えてもいいし、５個でもいい…。

さらに、時、分、秒は６０進法でやってるので、１０進法が当たり前でもない。

コンピュータの世界では２進法や１６進法が使われている。

どのやり方が正しいとか間違いとかいうことではなく、表現が違うということ。

しかし、ここで疑問がわきます。エクセルが計算間違いする（http://www.asahi-net.or.jp/~FV6N-TNSK/gates/excel.txt）と言うのです。

表現が違うだけで、正しいとするならば、１０進法を２進法で扱っても計算間違いはしないハズ。なのに、なぜエクセルは間違うのか？

　私はこれを読んでみて、２進法で表せない数があるというよりも、無限に続くということをコンピュータの計算に反映させるのが難しいからなんだと理解しました。

以上、素人考えで不正確な点や誤りもあると思いますが、私はなんとなく感覚的に分かったつもりになりました。

突っ込みどころ満載かも知れませんが、あえて投稿しました。

1/3=0.333…　と書いておきながら、

本当はたまに別の数字が出てきたり、本当はいつか終わったりするなら、ごまかしですよね。

でも、本当に3が永遠に続くんです。ごまかしてはいないと思うんです。

私は、0.999…は、1の近似値である思っていましたが、

他の方の書き込みにより、1を別の表現で表したものであると気付きました。

今は、どうやったらそれを直感的に分かってもらえるかを考えております。

1/3は0.333…

計算すると永遠に3が出てきます。ですから......とかかいてごまかしているわけです。それと、1/3は1を均等に３等分したものだから、1/3+1/3+1/3=3/3=1になるわけです。

>1/3 × 3 という10進数のかけ算は 3進数ではどう書きますか?

↓

1/3 × 3 というかけ算は 3進数ではどう書きますか?

3進数で考えましょうよ!

1→1

2→2

3→10

4→11

:

:

1÷3 → 0.1

2÷3 → 0.2

1÷9 → 0.01

:

:

てな感じです。

1/3 × 3 という10進数のかけ算は 3進数ではどう書きますか?

0.1 × 10 ですね?

ほらなんの不思議もなく 0.1 × 10 = 1 になったじゃないですか!

じゃ、10進数の 1/2 × 2 = 1 を 3進数で書くとどうなるでしょう?

1/2 は 3進数で書こうとすると 0.11111111…… という循環小数になります。

3進数だと 0.11111111……× 2 = 0.22222222……になりますね?

さて、この「0.22222222…… という数」はなんでしょう?

さっきはさらっと書いてしまったので、もう一度確認しますよ。

1/2 × 2 = 1 ですね? これを認めない、間違いだ、なんて言いませんよね?

ならば 3進数表記下での循環小数 0.2222222…… は 1 以外の何か別の数だというのですか?

同じように、10進数の 0.9999999…… も、1 なのですよ。

言葉足らずの説明でしたね。

他ツリーで幾人か、「1/3=0.333・・・は近似値である」といった意見が見られますが、これは間違っています。1/3=0.333・・・は近似値ではありません。なぜならば、3が無限に続くからです。つまり、

9が無限に続けば、

0.999…=1

であり、9が無限に続かなければ、

0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999≠ 1

どこかで9が終わってしまうため、それは近似値になります。

「無限に続く」と「どこかで途切れる」は、大きな違いがあります。いっしょにしてはいけません。

無限に続く場合、なぜ1になるかの証明は他ツリーも説明してくださっていますし、外部リンクを参考にしてもらってもかまいません。少数という表現方法だとこうなる、というだけの話です。

今回は数学の問題です。正しいか間違っているかはハッキリしています。概念的に理解しづらいのはわかります。でも、9が無限に続けば0.999…=1になることは、明らかに証明できる事実なんです。近似値ではなく、きっちりと成り立つ等式です。