漸化式の問題です。「初項が2で各項が正の数列{ａn}が、すべての正の整数ｎに対して、

anをＡ[n]としますね

で、その方程式は因数分解できますよ

（Ａ[n+1]-Ａ[n]-3）（Ａ[n+1]+２×Ａn）＝０

だからどっちかを満たせばＯＫですよ

ただＡ[n+1]+２Ａn=0はＡn>0を満たしそうにないですね

そんなに難しく考える必要は無いと思います。

漸化式は

{(an+1)-(an)-3}{(an+1)+2(an)}=0

と因数分解できます。

ここで各項が正ですから{(an+1)+2(an)}は正、つまり0ではありえません。

従って漸化式は結局

{(an+1)-(an)-3}=0

となりますが、これは公差が3の等差数列です。

よって一般項は

(an)=2+3(n-1)

です。

　因数分解して、

（（ａｎ＋１）＋２（ａｎ））（（ａｎ＋１）－（ａｎ）－３）＝０

となりますから、

（ａｎ＋１）＋２（ａｎ）＝０

または

（ａｎ＋１）－（ａｎ）－３）＝０

で、

公比－２の等比数列か、公差３の等比数列になります。