The Q Public License Version 1.0で配布されているこのソフトウェアを、自作のLGPLで公開しているプログラムと一緒に配布することは問題があるでしょうか？

自信がないのでコメントにでも。

GPL関連ではよく引用されるページですが

さまざまなライセンスとそれらについての解説
http://www.gnu.org/licenses/license-list.ja.html

> Q 公衆利用許諾契約書 (Q Public License) (QPL)、バージョン 1.0

という部分には以下のように書かれていますね。

>>
もし皆さんが QPL で保護されたライブラリ(以下では FOO)を使うプログラムを書き、ご自分のプログラムを GNU GPL の下で配布したいならば、それは簡単です。あなたのプログラムに関する限り、QPL と GPL の衝突は以下のような声明を書き加えることで解決できます。
<<

>>
As a special exception, you have permission to link this program
with the FOO library and distribute executables, as long as you
follow the requirements of the GNU GPL in regard to all of the
software in the executable aside from FOO.
<<

>>
(訳: 特別な例外として、あなたが FOO ライブラリ を除く実行形式に含ま
れる全てのソフトウェアに関して GNU GPL の要求する条件に従う限り、こ
のプログラムを FOO ライブラリにリンクし実行形式を頒布する許可を与え
ます。)
<<

>>
これは、そのプログラムの著作権者があなたであれば合法的です。すべてのソースファイルにおいて、そのプログラムが gnu gpl によって保護されているという告示の後に上の声明を書き加えて下さい。
<<

GPLとLGPLで主に異なるのは、
プログラムをライブラリとして配布する場合の影響範囲だと、
私は理解しています。

それ以外のケースでは、
GPLに認められている権利を行使できるような気がするのですが、
すいません、自信はありません。

とりあえず、紹介まで。