パズルを解いてください。お願いします。


Q:6角形の頂点と、頂点と頂点の間に数字を入れます。
1~12の数字を重複することなく配置して
各辺3つの数字の合計がどの辺でも同じになるようにしたいです。
  ○
 ○ ○
○   ○
○   ○
○   ○
 ○ ○
  ○


解き方、考え方、回答をお願いします。
明快な回答にはポイントを高く設定します。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2006/10/17 16:09:46
  • 終了:2006/10/18 16:12:42

回答(4件)

id:naochin No.1

naochin回答回数170ベストアンサー獲得回数82006/10/17 18:19:15

ポイント30pt

上の頂点から時計回りに、a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l

とします。

a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l=78…(1)

a+b+c=c+d+e=e+f+g=g+h+i=i+j+k=k+l+a=M…(2)

とします(辺の合計がM)

(2)を全部足し合わせると

a+b+c+c+d+e+e+f+g+g+h+i+i+j+k+k+l+a=6M…(3)

となり、(3)-(1)より、

a+c+e+g+i+k=6M-78…(4)

また、(1)-(4)より

b+d+f+h+j+l=156-6M…(5)

になります。

1~12の中の数字6つの合計の範囲は、15~63ですので、

(4)より

15≦6M-78≦63

15≦M≦24

ここで、重要な条件として、(1)とともに各数字は異なることが条件なので、

a+c≠c+e≠e+g≠g+i≠i+k

になります。

また、(4)、(5)ともに6の倍数になります。

さてと、ここまではできたけど、ココから先がすすみません。束縛条件はかなり絞れているのでココから後一歩だと思うのだけど。

で、ズルしてプログラム書いて解いちゃったんですが、

Mがいろんなパターンが出てるみたいです。

回転と左右反転を同一視すると20パターン出てます...

パズルじゃないような気が...

プログラムソース

答えの一覧(左右反転、回転パターンが全部含まれます)

id:no-ri-san

そですね。自分も近いところまで行って、プログラムに逃げようと思っていたのです。

実は子どもに説明をしなければいけないのです。

でも、数式化してもらえたのは有難いです。

ちなみに同一のパターンはそりゃ出ますよね。

噛み砕いた解説を頂ければ・・・

2006/10/17 18:59:34
id:yo-kun No.2

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302006/10/17 19:16:11

ポイント30pt

naochinさんがプログラムで解いたように答えは一意に決まらないようですね。


私も条件を絞り込んで見ました。


頂点上の数字を上から時計回りの順に

a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6とします。

辺上にある数字をa_1,a_2間にある辺上の数字をb_1として時計回りにb_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6とします。

また、辺の3つの数字の和をMとします。


まず1~12までの数字を重複なく配置することから

\sum^6_{i=1}a_i + \sum^6_{i=1}b_i = 78・・・(1)

また、各辺の和を6つすべて足すと

2\sum^6_{i=1}a_i + \sum^6_{i=1}b_i=6M・・・(2)

が成立します。


(1)と(2)より

\frac 1 6 \sum^6_{i=1}a_i + 13 = M・・・(3)

となります。

Mと13は自然数ですので\normalsize\textstyle \frac 1 6 \sum^6_{i=1}a_iも自然数でなければなりません。

言い換えると、\normalsize\textstyle \sum^6_{i=1}a_iは6で割り切れなければなりません。・・・(4)


さて、各a_iは1~12のうちのどれかで、かつ重複していませんので、\normalsize\textstyle \sum^6_{i=1}a_iの取りうる最も小さい値は

1+2+3+4+5+6=21

で、最も大きな値は7+8+9+10+11+12=57です。

(4)より\normalsize\textstyle \sum^6_{i=1}a_iは6で割り切れることがわかっていますので、\normalsize\textstyle \sum^6_{i=1}a_iは24、30、36、42、48、54のいずれかです。


(1)と(3)を考慮に入れると

\normalsize\textstyle \sum^6_{i=1}a_i \normalsize\textstyle \sum^6_{i=1}b_i M
24 54 17
30 48 18
36 42 19
42 36 20
48 30 21
54 24 22

となります。



また、一つ飛ばしに辺を3つ選び、選ばれなかった辺上の3つの数字を足すことで

3M+b_1+b_3+b_5=78

および

3M+b_2+b_4+b_6=78

が得られます。

これより

b_1+b_3+b_5=b_2+b_4+b_6

がわかります。


ここまでは条件を絞れました。

この先はしらみつぶししかないのでしょうかねぇ…。

id:no-ri-san

なるほど。

しらみつぶすしかないのですか・・・。

御2人の出していただいた条件が揃ってきましたね。

2006/10/17 19:22:15
id:imo758 No.3

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192006/10/18 01:58:39

ポイント25pt

2で割った余りは次のうちどれかのパターン。

00 00 01 11 01 11

00 01 10 10 10 11

00 01 11 00 01 11

01 01 01 01 01 01

(上記の0と1を入れ替えて、更に4パターン)

3で割った余りのパターンは次のようなものがある。

00 01 21 01 22 21

00 01 22 20 11 12

00 02 12 02 11 12

00 11 20 00 11 22

00 22 11 00 22 11

(上記の1と2を入れ替えたパターン)

(全体に1を加えたパターン、全体に2を加えたパターン)

(…全通りなのか、重複がないか、などはまだ手をつけてない)

2で割った余りのパターンと3で割った余りのパターンを組み合わせて、6で割った余りのパターンを考えようとして…挫折。

先に4で割ったあまりのパターンを考えたほうが良かったかもしれない。

何にせよ、ダメダメです…はい。すいません。

id:no-ri-san

いえいえ、ありがとうございます。

すいません。このパターンは分析上どの部分の考え方ですか?

2006/10/18 16:11:28
id:KM3 No.4

KM3回答回数2ベストアンサー獲得回数02006/10/18 02:26:02

ポイント30pt

こんばんわ。

まず1から12までの和は78です。

次に六角形の角に来る値をbとすると、最もb郡が大きくなる組合せは

7+8+9+10+11+12=57  

小さくなる組合せは1+2+3+4+5+6=21   

また同じ値の辺が6個あるので当然6の倍数となります。

したがって78+21=99以上で78+57=135以下の6の倍数は

6×17=102  b郡の和24

6×18=108  b郡の和30

6×19=114  b郡の和36

6×20=120  b郡の和42

6×21=126 b郡の和48

6×22=132 b郡の和54

ここで行き詰ってプログラムの力技で解いたのですが

b郡の和24

1 2 3 4 5 9,1 2 3 5 6 7

b郡の和30

1 2 4 5 8 10

b郡の和36

1 3 4 8 9 11,1 3 5 7 8 12,1 3 6 7 8 11,2 3 4 7 9 11,3 4 5 6 7 11

b郡の和42

1 5 6 8 10 12,2 4 5 9 10 12,2 4 6 9 10 11,2 5 6 7 10 12,2 6 7 8 9 10

b郡の和48

3 5 8 9 11 12

b郡の和54

4 8 9 10 11 12,6 7 8 10 11 12

のようになり、たぶん30から48は難しいのでb郡の和が24及び54についてのみ

考えてみました。

(Ⅰ) b郡の和が24 (一辺の和が17)*1,2,3,4,5,6のどれかに値3をたす

組合せは1,2,3,4,5,9

1,2,3,4,6,8

1,2,3,5,6,7の3種類だけです。

でつぎに各組合せの数字を二回ずつ使い、

a)2つの数字の合計が他の2つの数字の合計と同じにならないようにする。

b)またその合計を17から引いた数がその組合せの数字の中に入っていないようにする。

で計算すれば出来ると思います。

(Ⅱ) b郡の和が54 (一辺の和が22)*7,8,9,10,11,12のどれかの値3を引く

組合せは4,8,9,10,11,12

    5,7,9,10,11,12

    6,7,8,10,11,12の三種類だけです。

で条件a)、条件b)*22から引く

で同様に計算してください。

残念ながら最後は力技です。ごめんなさい。

id:no-ri-san

いえいえ、でも微妙に皆さん近いところまで来ていて、同じところで力技みたいですね。

ありがとうございます。

2006/10/18 16:09:08
  • id:imo758
    説明不足ですいません。
    角辺 角辺 角辺 角辺 角辺 角辺です。
    AB CD EF GH IJ LM なら
    A+B+C = C+D+E = E+F+G = …です。

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