飛行機のコックピットからの映像を見たんですが、

この機体は民間機ベースのものです。たとえ軍用機であったとしても、もともと民間機であったものを軍用に転用したものでしょう。尾翼はＴ字翼のものではありません。（参考：Ｔ字の尾翼→Ｃ－１７orＭＤ－９０etc）昔であればこれはニアミスになるのかもしれませんが、エアウェイが超過密の現代、空は渋滞していますのでこれは異状ではないし、ニアミスではありません。雲の筋が４本あることから４発エンジンであることは確実です。よってＢ－７４７もしくはエアバス３４０等、４発の民間機もしくはこれらを軍事用に転用した機体ではないでしょうか？

該当する機体と思われる航空機の代表例
Ｂ－７４７（時期から考えて、ボーイング社の機体はこれのみ）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B0747
エアバス３４０（時期から考えてエアバスは４発の旅客機は沢山作っているので不明）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%A2%E3%83%90%E3%82%B9A340

参考：Ｔ字尾翼のＣ－１７
http://ja.wikipedia.org/wiki/C-17_(%E8%BC%B8%E9%80%81%E6%A9%9F)
参考：Ｔ字尾翼のＭＤ－９０（この系の機体は主翼が通常より後ろの位置にあるので動画の機体ではないと判別できる。）
http://ja.wikipedia.org/wiki/MD-90

いくら現在の空が混雑しているからといっても高度が数百メートルしか離れていないのにすれ違うような事は普通しません。
それに飛行機雲が出来るような高々度で民間の大型ジェットが追走するような形で飛ぶようなフライトプランは早々ありませよね。
もし軍用の機体であれば・・・
KC-135
http://ja.wikipedia.org/wiki/KC-135_%28%E8%88%AA%E7%A9%BA%E6%A9%9F%29
An-124
http://ja.wikipedia.org/wiki/An-124_%28%E8%BC%B8%E9%80%81%E6%A9%9F%29
RC-135
http://ja.wikipedia.org/wiki/RC-135
あたりかと思います。

私は航空関係者です。

>いくら現在の空が混雑しているからといっても高度が数百メートルしか離れていないのにすれ違うような事は普通しません。それに飛行機雲が出来るような高々度で民間の大型ジェットが追走するような形で飛ぶようなフライトプランは早々ありませよね。

むしろ一般的なフライトプランです！なるべく高々度で飛んだ方が空気が薄いため燃費がよくなります。

以下、サイトから
高度間隔については，飛行方向ごとに使用する巡航高度が定められており，IFR機相互間について，高度29,000ft（8,800m）以上においては 2,000ft（600m），高度29,000ft未満においては1,000ft（300m）以上の間隔を持った巡航高度が承認される。VFR機が巡航する場合は，IFR機の巡航高度に対して，高度29,000ft以上では1,000ft，高度29,000ft未満では500ft（150m）の間隔を持つ高度を飛行しなければならない。
http://www.jal.co.jp/jiten/dict/p311.html

600メートルや150メートルといった間隔はrotorinさんのいう「数百メートル」に該当し、ふつうに行われていることがわかります。
飛行機雲のできる高度については、季節などにもよりますが、先ほどシミュレーターで検証したところ29000ftで発生いたしました。旅客機はもっと高いところも飛行いたします。