数学ですが、34歳の私に手ほどきを願いします。


ある三角形に対する、内心Iと傍心Jを直線で結びます。
(※傍心は1つの三角形に3つ考えられますが、どれか1つを代表して考えてください)

この三角形の外接円と線分IJとの交点Mを考えます。

この時、交点Mは、必ず線分IJの中点になるそうなのですが、理屈がいまいちわからないため、教えていただければ幸いです。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2007/11/22 11:39:14
  • 終了:2007/11/23 08:56:00

回答(3件)

id:kappagold No.1

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482007/11/22 14:37:12

34歳ですという前置きと、証明せよという要求ではないことから、感覚的に説明したほうが良いような気がしますので、感覚的に説明します。(きちんとした証明が御希望の場合、問題を書いて、証明してください、という質問を立てれば、すぐに証明してくれる人がいると思います。)


いきなり、話を飛ばしますが、以下のURLのp7の、「9.内心と外心」を見てください。

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/pc-mathek...

DI=DB=DCです。

これの証明は、有名だということですので、省略します。

交点をMとするとMI=MB=MCです。


次に、ウィキペディアのページの傍心の図を見てください。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2

四角形IBI(A)Cの角BとCが直角であることから、四角形IBI(A)Cのそれぞれの頂点が同一円上にのることが判ります。

これを上のMI=MB=MCと合わせると、MI=MB=MC=MI(A)となって、

交点Mは、必ず線分IJ(II(A))の中点になります。


数学的にはあまり良くない回答だとは思いますが、なんとなく、御理解いただけましたでしょうか?

id:miku1973

なんとなくという観点では既に理解しています。

「理屈」を知りたいというのは、しっかり理解したいということです。

すいません。

2007/11/23 08:25:33
id:Wize No.2

Wize回答回数65ベストアンサー獲得回数92007/11/22 16:10:07

ポイント80pt

「外接円とIJの交点がIJの中点になる」ことと「IJの中点が外接円上にある」ことは同じことなので、

後者を証明します。実際に図を書きながら読んでみてください。

三角形ABCがあります。内心をIとし、傍心のうち∠BACの二等分線上にあるものをJとします。

まず、∠IBJに着目します。

これは 1/2∠ABC+1/2(∠ABCの外角)ですので、90度になります。

同様に、∠ICJも90度となります。

このことから、線分IJを直径とする円を描くと、B,Cはその円周上にあることになります。 

この円の中心をMと置きます。これはIJの中点です。

この点Mが、三角形ABCの外接円上にあることを証明すればいいわけです。

∠BMC = 2∠BJC 円周角と中心角から

= 2(180-∠BIC) 四角形IBJCの内角の和から

= 2(∠IBC + ∠ICB)   三角形IBCにおいて、∠BICの外角は残り2つの内角の和

= ∠ABC + ∠ACB

= 180 - ∠BAC

よって、∠BMC + ∠BAC = 180度になります。

定理「向かい合う内角の和が180°の四角形は,円に内接する」(*証明略)

より、四角形ABMCは円に内接します。

この円はもちろん三角形ABCの外接円でもあるため、点Mは三角形ABCの外接円上にあります。(証明終)

(*)の証明がもし必要ならば、

http://www.sing.co.jp/chugaku/hattensuugaku/2_4naisetu.pdf

を参考にしてください。

id:miku1973

完璧です。ありがとう!

2007/11/23 08:55:05
id:siigimaru No.3

siigimaru回答回数556ベストアンサー獲得回数52007/11/23 05:12:22

http://m.iwa.hokkyodai.ac.jp/me/subjects/geomview/polygon/3/cent...

絵で見たほうが早いかと思いこのURL貼ります。

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/aenkan.htm

証明的なのはこっちで理解できます。

つーか、自分で理解するのと、他人に教えるのは違いますね。

私の理数系の先生は運が良いか悪いかほぼ証明説明で教わりました。

id:miku1973

ページの中のどれを見ればいいのでしょうか?

2007/11/23 08:28:59

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