以下のようなテーブルがあります。

SELECT News.* FROM News
  WHERE News.NewsId IN (
    SELECT NewsId FROM NewsCategory JOIN Category USING ( CategoryId )
      WHERE
        NewsCategory.NewsId = News.NewsId AND
        CategoryName IN ( '医療', '経済' ) GROUP BY NewsId HAVING COUNT(*) = 2
    )
  ORDER BY News.NewsId

SELECT * FROM NewsCategory

WHERE CategoryId in (1,2)

Categoryのテーブルがありますが、それから「医療」カテゴリーと「経済」カテゴリーを

抽出する条件が記載されていないため、それぞれ固定値にしました。

たとえば

CategoryName = '医療'

というような 条件で抽出するというならば、それでやりますが

普通に考えると 名称を条件に抽出は しませんから。

抽出した結果で 名称を 表示させる場合は、あります。

今回は、取得するには ？ でしたので 書きませんでしたが・・・。

こんな感じだと思います。

select N.*
 from News as N
 where NewsId in(select NewsId
                  from NewsCategory as NC
                   inner join Category as C
                    on NC.CategoryID=C.CategoryID
                  where N.NewsId=NC.NewsId
                     and CategoryName in('医療','経済')
                  group by NewsId
                   having count(distinct CategoryName)=2)
 order by N.NewsId

ジョインする方法は、より思い付きやすい方法だと思います。

select N.*
 from News as N,
 (select NewsId
   from NewsCategory as NC
    inner join Category as C
     on NC.CategoryID=C.CategoryID
   where CategoryName='医療') as x,
 (select NewsId
   from NewsCategory as NC
    inner join Category as C
     on NC.CategoryID=C.CategoryID
   where CategoryName='経済') as y
 where N.NewsId=x.NewsId and x.NewsId=y.NewsId