私は機械科の学生で、数学の偏微分方程式の解き方について質問です。3次元ラプラス方程式を差分方程式で解きたいのですが、なにか参考になる本をご存知ないでしょうか。

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/000bibnh.html

規則的なグリッド上で値が定義されている場合と、不規則なグリッドの場合

で違いますが、規則的な場合について。

幅DXのグリッドで空間が分割されているとすると、

Δf(x,y,z) = (6f(x,y,z)-f(x-1,y,z)-f(x+1,y,z)-f(x,y-1,z)-f(x,y+1,z)-f(x,y,z-1)-f(x,y,z+1))/DX^2

と差分で表されます。Δf(x,y,z) =A(x,y,z) を解く場合、グリッドの数をNとするとN変数の連立一次

方程式になります。Lf=A。この行列LとベクトルAを一次方程式を解くルーチンにぶっこんでfを求めます。

三次元のグリッドに1からNまで番号を付け、その順にA(x,y,z)を並べたものがベクトルA,行列Lは対角要素Lii

は点iに隣接する点の数(普通は6,境界だと少ない)/DX^2, 非対角要素Lijは点iと点jが隣接していれば-1/Dx^2、

それ以外は０です。ほとんどの要素が０の疎行列なので、それをうまく格納するフォーマットを選びます。

ほとんどの一次方程式を解くルーチンはそういうフォーマットに対応しています。

不規則なグリッドの場合はガラーキン法などを使います（詳しくは書きません）

http://d.hatena.ne.jp/keyword/%A5%E9%A5%D7%A5%E9%A5%B7%A5%A2%A5%...