等比数列の和の公式の導き方に納得できない箇所があるのですが、教えてください。まずは添付画像をご覧になってください。

＞２，最後の行

②-①より求まりそうな。

＞１、どうして両辺にrを掛ける必要があるのでしょうか。

(２)の式を作るためです。

なぜ(２)の式を作る必要があるかというと、(１)の式と両辺を引き算して間のたくさんの項を消したいからです。

（１）の式と（２）の式を引き算する、というのを詳しく書くと以下のようになります。

Sn - rSn = (a + ar + ar^2 + ar^3 ... + ar^n-1) - (ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 ... + ar^n)
         = a + ar + ar^2 + ar^3 ... + ar^n-1 - ar - ar^2 - ar^3 - ar^4 ... - ar^n
         = a + (ar - ar) + (ar^2 - ar^2) + (ar^3 - ar^3) + ... + (ar^n-1 - ar^n-1) - ar^n
         = a - ar^n

指数の n の部分が１つずつずれて互いに消しあい、頭とおしりの a と ar^n だけが上手く残って式がきれいになったのがわかります。

＞２、最後の行でどうやって1-rがr-1に変形したのかがわかりません。

これは分母と分子の両方に -1 をかけただけです。丁寧に書くと以下のような感じです。

     a(r^n - 1)   -a(r^n - 1)   a(-r^n + 1)   a(1 - r^n)
Sn = ---------- = ----------- = ----------- = ----------
       1 - r        -(1 - r)       -1 + r        r - 1

わかりましたでしょうか？