非定常な時系列モデルのデータを対数変換するとなぜ、定常になるのでしょうか。

ばらつきが一定になる理由を教えてください。

回答の条件
  • 1人3回まで
  • 登録:2008/03/15 17:17:46
  • 終了:2008/03/20 19:42:31

回答(2件)

id:ita No.1

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472008/03/15 18:08:11

ポイント40pt

ちょっと問題に対する誤解がおありになると思います。以下のような場合にかぎって

質問のような状況がなりたちます。

全財産の半分を常に賭けて、確率1/2で負けて利益0、

確率1/2で勝てば3倍になって戻ってくるゲームがあるとします。

毎回、全財産は50%の確率で1/2か2倍になります。

各賭けでのばらつきは全財産に比例します。

しかし財産の対数を取ると、毎回Log2 へるかLog2増えるかのどちらかで、

ばらつきは一定です。

こういう「倍倍ゲーム」の場合にかぎってご質問のようなことがなりたちます。

ばらつきだけみれば非定常だけど、ルールは一定不変なんで定常です。Logにすれば

それが見えると。

別の言い方をすれば金額が何倍になったか、というデータならいつも2か1/2で、

ばらつきは一定です。こういう場合は元系列じゃなくて対前期比を使えば

定常過程になります。

id:megaworld

確率が1/2か2倍というのが、財産の対数をとるとlog2へるかlog2増えるというのをもう少しわかりやすく(できたら、初期を100円として、具体的な事例で)、説明してもらえませんでしょうか。

2008/03/15 19:44:44
id:iu43lkjds32 No.2

iu43lkjds32回答回数18ベストアンサー獲得回数02008/03/20 14:32:07

ポイント35pt

倍・半分の話がややこしいので,足す・引くで考えてみたらいかがでしょうか。

「初期値A, 勝てば +1,負ければ -1」というルールであれば,ばらつきは一定でしょう。

これが「初期値B,勝てば *2,負ければ /2」というルールであれば,

全体を底が2のlogをとってやれば,

「初期値 LogB, 勝てば+1, 負ければ -1」というルールと透過になります。

実際の結果に戻すには,逆の変換,つまり 2のN乗の計算をする必要があります。


5+4=9

という基本形があって,

(2^5) * (2^4) = (2^9)

これを底が2のlogをとってやれば,

5+4=9

にもどります。

  • id:pahoo
    「非定常な時系列モデル」の定義をお願いします。
    たとえば株価は「非定常な時系列モデル」だとお考えですか?
  • id:megaworld
    株価は、非定常な時系列だと思います。(時間とともに
    ばらつきが大きくなる)
    株価(TOPIX)の時系列を例に説明してくださると
    わかりやすいと思います。 為替を例でもかまいません。
    あるいは、その他でもかまいません。

    非定常でも、一階の差分をとれば、定常になるモデル
    は、わかりました。




     

  • id:ita
    あ、説明が足りませんでしたね。
    Logの基本的な性質から、
    Log(100*2)=Log(100)+Log(2)
    Log(100*1/2)=Log(100)+Log(1/2)=Log(100)-Log(2)

    (これはLog(1/2)= - Log(2) なので)

    という式がなりたちます。Log(A*B)=Log(A)+Log(B)なので。
    Logは掛け算を足し算にする、という言い方も出来ます。
    すなわち掛け算の倍倍ゲームを普通の足し算のゲームに変換
    すると考えればいいとおもいます。

    倍倍でどんどん勝って行った場合、
    Log(200)=Log(100)+Log(2)
    Log(400)=Log(100)+Log(2)+Log(2)
    Log(800)=Log(100)+Log(2)+Log(2)+Log(2)
    などです。
  • id:harasima
    ”非定常な時系列モデルのデータ”が”○×変換するとなぜ、定常になるのか”
    という考えをなさった方がよいかと思います。


    ”定常”というが一時直線で表されるものだと思われているならば、反比例だったり、
    n時曲線だったり、ご質問の対数や別の関数でで表せば、きれいな結果を生み出します。


    つまるところ、数学の問題ではないかと。(近・現代や未知の理論を考えると、現在”非定常”な
    モデルも”定常”になる可能性も)

  • id:megaworld
    ありがとうございます。だいぶわかりました。
    非定常で、ばらつきが時間tによらないとは、ばらつきが正規分布に
    したがうと理解すればいいのでしょうか。
  • id:megaworld
    失礼しました。定常で、ばらつきが時間tによらないとは、
    ばらつきが正規分布にしたがうと理解すればいいのでしょうか。
    のまちがいでした。
  • id:ita
    正規分布かどうかってところは重要な話でして、
    今まではそう仮定して解析するのが主流だったと思います。その根拠は、経済活動は非常に多くの要素が足しあわさった結果なのですが、非常に多くの変数を足した数字というのはもとの変数が正規分布でなくても正規分布にしたがうというガウスの誤差論があります。
    ただしこれは各変数が互いに無関係である、という仮定に基づいています。しかし株の売買だと各人は他人の行動に影響されるので、正規分布にならない可能性もあります。

    まあしかし実際は正規分布じゃないと計算できないなどの都合で正規分布を仮定するしかないかもしれません。ブラックショールズ式とかも正規分布を仮定してるし。
  • id:megaworld
    なるほどよくわかりました。
    株価(TOPOX)の時系列データを対数変換しても、非定常なままなのに、
    差分をとれば、定常になるというのが、よくわからなかったものでした。
    ありがとうございました。













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