非定常な時系列モデルのデータを対数変換するとなぜ、定常になるのでしょうか。

ちょっと問題に対する誤解がおありになると思います。以下のような場合にかぎって

質問のような状況がなりたちます。

全財産の半分を常に賭けて、確率1/2で負けて利益０、

確率1/2で勝てば３倍になって戻ってくるゲームがあるとします。

毎回、全財産は５０％の確率で1/2か２倍になります。

各賭けでのばらつきは全財産に比例します。

しかし財産の対数を取ると、毎回Log２ へるかLog２増えるかのどちらかで、

ばらつきは一定です。

こういう「倍倍ゲーム」の場合にかぎってご質問のようなことがなりたちます。

ばらつきだけみれば非定常だけど、ルールは一定不変なんで定常です。Logにすれば

それが見えると。

別の言い方をすれば金額が何倍になったか、というデータならいつも２か1/2で、

ばらつきは一定です。こういう場合は元系列じゃなくて対前期比を使えば

定常過程になります。

倍・半分の話がややこしいので，足す・引くで考えてみたらいかがでしょうか。

「初期値A, 勝てば +1，負ければ -1」というルールであれば，ばらつきは一定でしょう。

これが「初期値B,勝てば *2，負ければ /2」というルールであれば，

全体を底が2のlogをとってやれば，

「初期値 LogB, 勝てば+1, 負ければ -1」というルールと透過になります。

実際の結果に戻すには，逆の変換，つまり 2のN乗の計算をする必要があります。

5+4=9

という基本形があって，

(2^5) * (2^4) = (2^9)

これを底が2のlogをとってやれば，

5+4=9

にもどります。