<問題>

袋の中に白球3個、黒球2個、赤球5個が入っている。ここから4個の球を取り出すとき、白球が
少なくとも2個含まれている確率は?
<質問>
「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに
(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から1個取り出す組み合わせ)
としては、なぜ駄目なのかわかりません。教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/06/06 16:24:17
  • 終了:2008/06/06 23:53:11

ベストアンサー

id:kappagold No.4

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/06/06 23:07:08

ポイント100pt

遅くなってしまいましたが、まだOKのようなので書かせていただきます。


(白球を○、赤もしくは黒の場合を●とします。)


この問題の基本的な回答は、

①白球が0個の場合、

②白球が1個の場合、

③白球が2個の場合、

④白球が3個の場合

これをそれぞれ出して、③と④を足して答えを出しますよね。(答えは1/3)

 ここで、ちょっと補足しますが、白球が1個の場合の確率は

 (3/10)×(7/9)×(6/8)×(5/7)にいつ白球を取るかということで、

  ○●●●

  ●○●●

  ●●○●

  ●●●○

 の4通りをかけて、

 (3/10)×(7/9)×(6/8)×(5/7)×4となります。

 (他の場合は、省略します。)



それに対して、massa-willさんは、白球を2個取ってしまえば後は2個だろうが3個だろうが一緒なのではないかと考えて、「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに回答を出せると考えたのではないかと思います。


ここまでの仮定が違っていたら、この後は大勘違いです・・・。



「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに回答をする場合、

(白球を○、赤もしくは黒の場合を●、どちらでも良い場合を◇とします。)

この場合も、白球をいつ取るかということを考えます。

4回取るので、以下の6通りの取り方があります。

○○◇◇

○●○◇

○●●○

●○○◇

●○●○

●●○○

それぞれの確率は、

(3/10)×(2/9)×(8/8)×(7/7)

(3/10)×(7/9)×(2/8)×(7/7)

(3/10)×(7/9)×(6/8)×(2/7)

(7/10)×(3/9)×(2/8)×(7/7)

(7/10)×(3/9)×(6/8)×(2/7)

(7/10)×(6/9)×(3/8)×(2/7)

これを合わせると、

③白球が2個の場合+④白球が3個の場合と同じになります。

これを計算すると1/3ですよね。

ということで、「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに回答するのもいい考えだと思います。





もしかしてとは思いますが、massa-willさんの疑問は、

(2/3)×(1/2)×(8/8)×(7/7)で、1/3になるので、この式で回答を出してはいけないのかということでしょうか。

私には、(2/3)×(1/2)の部分の解釈が出来ないので、私なら不正解に・・・。


ここは他の回答者の意見を聞きたいところです。

id:massa-will

kappagoldさんの回答があると思って締めてませんでした。

「仮定が違っていたら、この後は大勘違い」とありましたが、大当たりです。

とてもよくわかり、勉強になりました。ありがとうございます。

2008/06/06 23:47:46

その他の回答(3件)

id:gday No.1

gday回答回数383ベストアンサー獲得回数712008/06/06 16:52:30

ポイント15pt

>(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から1個取り出す組み合わせ)


これだと白球を3個取り出す組み合わせが計算されないからです。

4個の玉を取り出す時は、白球は3個あるので


  • 白球0個+他の色4個
  • 白球1個+他の色3個
  • 白球2個+他の色2個
  • 白球3個+他の色1個

の場合が考えられます。

問題が「白球が少なくとも2個」なので2個と3個のそれぞれの場合について考えなければ全ての組み合わせを考慮したことにならないのです。

id:Gay_Yahng No.2

Gay_Yahng回答回数724ベストアンサー獲得回数262008/06/06 17:29:24

ポイント15pt

その計算の意味は

3個の白球から2個取り出して、1つを他の玉と混ぜて残りの8個の玉から1つ選ぶ場合の組み合わせ数になってしまう。

になってしまうから。

 

これじゃ納得できないかな?

 

組み合わせを全部書き出すとわかるんだけど。

同じ組み合わせがでてきちゃうよ。

id:noir_k No.3

noir_k回答回数45ベストアンサー獲得回数22008/06/06 19:39:21

ポイント100pt

一応,コメントの方にも書かせてもらいましたが

>(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から2個取り出す組み合わせ)

の書き間違え? ということで,説明させていただきます.


白球3つを白1,白2,白3,黒か赤の任意のものをA,Bとしたとき

>(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から2個取り出す組み合わせ)

の考え方では,白球2つの場合は


白1,白2+A,B

白1,白3+A,B

白2,白3+A,B


と重複せずに数えることができます.

しかし,白球3個の場合は


白1,白2+白3,A

白1,白3+白2,A

白2,白3+白1,A


と,3倍に重複して数えてしまいます.

そのため,2倍分の7*2=14個分のずれが生じてしまいます.

id:massa-will

わかりやすく教えてもらい、すっきりとできました。ありがとうございます。

2008/06/06 20:04:39
id:kappagold No.4

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/06/06 23:07:08ここでベストアンサー

ポイント100pt

遅くなってしまいましたが、まだOKのようなので書かせていただきます。


(白球を○、赤もしくは黒の場合を●とします。)


この問題の基本的な回答は、

①白球が0個の場合、

②白球が1個の場合、

③白球が2個の場合、

④白球が3個の場合

これをそれぞれ出して、③と④を足して答えを出しますよね。(答えは1/3)

 ここで、ちょっと補足しますが、白球が1個の場合の確率は

 (3/10)×(7/9)×(6/8)×(5/7)にいつ白球を取るかということで、

  ○●●●

  ●○●●

  ●●○●

  ●●●○

 の4通りをかけて、

 (3/10)×(7/9)×(6/8)×(5/7)×4となります。

 (他の場合は、省略します。)



それに対して、massa-willさんは、白球を2個取ってしまえば後は2個だろうが3個だろうが一緒なのではないかと考えて、「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに回答を出せると考えたのではないかと思います。


ここまでの仮定が違っていたら、この後は大勘違いです・・・。



「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに回答をする場合、

(白球を○、赤もしくは黒の場合を●、どちらでも良い場合を◇とします。)

この場合も、白球をいつ取るかということを考えます。

4回取るので、以下の6通りの取り方があります。

○○◇◇

○●○◇

○●●○

●○○◇

●○●○

●●○○

それぞれの確率は、

(3/10)×(2/9)×(8/8)×(7/7)

(3/10)×(7/9)×(2/8)×(7/7)

(3/10)×(7/9)×(6/8)×(2/7)

(7/10)×(3/9)×(2/8)×(7/7)

(7/10)×(3/9)×(6/8)×(2/7)

(7/10)×(6/9)×(3/8)×(2/7)

これを合わせると、

③白球が2個の場合+④白球が3個の場合と同じになります。

これを計算すると1/3ですよね。

ということで、「白球3個のとき」と「白球2個のとき」の場合分けをせずに回答するのもいい考えだと思います。





もしかしてとは思いますが、massa-willさんの疑問は、

(2/3)×(1/2)×(8/8)×(7/7)で、1/3になるので、この式で回答を出してはいけないのかということでしょうか。

私には、(2/3)×(1/2)の部分の解釈が出来ないので、私なら不正解に・・・。


ここは他の回答者の意見を聞きたいところです。

id:massa-will

kappagoldさんの回答があると思って締めてませんでした。

「仮定が違っていたら、この後は大勘違い」とありましたが、大当たりです。

とてもよくわかり、勉強になりました。ありがとうございます。

2008/06/06 23:47:46
  • id:Kotobuki_F
    >(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から1個取り出す組み合わせ)
    としては、なぜ駄目なのか

    この計算で何をしたいのかが全く分からないが。
  • id:kappagold
    ダメじゃないと思いますよ。
    その考え方でも解けます。

    今は時間がないので、時間が出来たときに他から回答が入っていなければ回答を入れます。
  • id:kappagold
    そのままというわけではありません。
  • id:noir_k
    4個の球を取り出すんだから
    >(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から1個取り出す組み合わせ)
    じゃなくて
    >(白球3個から2個を取りだす組み合わせ)×(残りの8個から2個取り出す組み合わせ)
    の書き間違え?
  • id:massa-will
    そうでした。書き間違えです。「8個から1個」でなく「8個から2個」でした。すみません。
    みなさん、回答・コメントをありがとうございます。

    PS:kappagoldさん、是非そのようにお願いします。

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