The weatherman’s record in a given city is given in the table below, the numbers indicating the relative frequency of the indicated event.
Actual
Prediction Rain No rain
Rain 1/8 3/16
No rain 1/16 10/16
A clever student notices that the weatherman is right only 12/16 of the time, but could be right 13/16 of the time by always predicting no rain. The student explains the situation and applies for the weatherman’s job, but the weatherman’s boss (who has studied information theory) turns him down. Why?
No.1
2832
181
27pt
色々おかしな点がありますが、まず確率行列じゃないですね。
次に予測が外れて不味いのが雨ではないと予想して雨だった場合。天気予報で雨の予想で晴れだった場合報酬（損失）は傘を持っていかされたという程度で済みますが、その逆の外れは許されません。
意思決定論で最も重要な部分が抜けている。その辺がボスが採用を見送った理由だと考えます。
No.2
2915301
27pt
少し言葉を変えてみますと・・・。
「天気予報士は16回予想して12回的中したけど、
16回全て晴れと予想していれば13回も的中ですよね」
比較すべき方向とは真逆だから・・・。
# ホンネとしては単純に「そんなの予想と言えるか！！！」だったりしてね。
問題
http://www.s3.kth.se/commth/gradedu/infotheory/2007/downloads/hw...
回答
http://www.ece.tamu.edu/~krn/EE64705/hw5.pdf
Notice that although Fano’s inequality suggests that the probability of error in predicting X from Y is related to H(X|Y ), it is not true that a higher probability of error leads to a higher H(X|Y ).
No.3
57140
26pt
「cleverなstudentの作戦は天気予報ではないから」と答えたいですが、
計算も交えて答えるなら「雨の日(Actual Rain)の的中率が0だから」かな。
シチュエーションが難しいですね。
市の天気予報の記録を見ると的中率12/16であることに対し、
cleverなstudentが「いつも晴れを予想すれば13/16」だと気がついて、
的中率Upしてやるからweathermanの仕事をくれと言ってきた…
というところでしょうか。ほんとかな？
記録の方は、全体の的中率は12/16で75%。
Actual NoRainの中での的中は、機会13に対して10。→77%
Actual Rainの中での的中は、機会3に対して2。→67%
対してcleverなstudentの作戦をまじめに計算すると、全体の的中率は13/16で81%。
Actual NoRainの中での的中は、機会13に対して13。→100%
Actual Rainの中での的中は、機会3に対して0。→0%
雨の日の予報的中率は0って、天気予報としてどうなんでしょう。
というかこんなのは天気予報ではありません（博打？）。不採用も無理はないですね。
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コメント（3件)
条件付情報エントロピーを使えばいいってことはすぐに分かるでしょうが、どう使うか、ですね。
基本的には、予報という情報を既に得た状態で、実際の天気の情報を得た時にどれだけ情報が増えるか、
てことですね。予報が完全に正確ならまったく情報は増えない。なので条件付エントロピーが少ない方がいい。
雨が降ると予報した時には、降る:2/5 降らない:3/5 なので追加の情報量は S(2/5, 3/5)。
雨が降らないと予報した時には、降る:1/11 降らない:10/11 なので追加の情報量は S(1/11, 10/11)。
降る予報を出す割合は5/16, 降らないは11/16。したがって追加の情報量の平均は
(S(2/5, 3/5)*5 + S(1/11, 10/11)*11)/16。
一方学生の予報も同様に計算すると追加の情報量は S(3/16, 13/16)。
あるいは、予報をA, 実際の天気をB, ABの同時分布の情報量をH(A,B)、追加の情報量をH(A|B)とおくと、
H(A|B) = H(A,B)-H(A)
また学生の予報の情報量は0で追加はH(B)。
ここでH(A,B) <= H(A) + H(B) より H(A,B)-H(A) <= H(B)。したがって学生の予報の方が性能が悪い。
> cleverなstudentが「いつも晴れを予想すれば13/16」だと気がついて、
> 的中率Upしてやるからweathermanの仕事をくれと言ってきた…
> というところでしょうか。ほんとかな？
私の訳もそうなりました。
たぶん、それであってますよ（自動詞での「apply for 〜」は「〜に志願する」ですから）。
ひどい学生もいたもんです（笑）。
で、単なる確率の問題として、そもそも「13/16」という数値は、「その都市における雨の降らない日の頻度」でしかありません。つまり、予報の内容とは関係のない独立な値なんですよね。この時点で、この学生はいてもいなくても同じです。
「でも、実際に13/16の確率で予報と実際が一致するんだから、的中率はアップするだろう？」と学生は反論するかもしれません。
しかし、雨がほぼ５日に１日の割合でしか降らない街では、「雨が降るのはいつか」を知りたい、つまりそれが情報として重要なわけで、雨の予報の的中率の方をアップしなければ意味がありません。
現在の予報では、2/3の確率で雨の予報が的中していますが、学生のやり方では、雨の予報をしないので、的中率は0です。
したがって、この学生を採用する意味は全くありません。
いずれにしても、学生は常に「雨が降らない」という「一つ」の予報しか出さないので、情報量はlog(1)=0。