<問題>

相加平均・相乗平均の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080804004544
<解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080804004637
<質問>
解答例の『研究』がなんとなくしっくりときません。少し噛み砕いて、教えてください。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/08/04 15:35:45
  • 終了:2008/08/05 00:16:07

ベストアンサー

id:yuki333zityo No.1

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/08/04 22:15:44

ポイント60pt

解答例にも載っていますが、体積Vについて、

V=(Π・r^2/h^2)×x^2(h-x)

が成り立つことはわかります。この式について、変数はxのみですね。Πもrもhも、全て定数なわけですから、x^2(h-x)の最大値を求めれば言いわけです。

よって、x×x×(h-x)の最大値を求める事を目指します。赤文字を書かれた、「下でx^2・(h-x)を作るための変形」と書かれているのは、このためです。(以下、f(x)=x×x×(h-x))とします。)

ところで、相加相乗平均の関係を使って最大値を求める場合、

(定数)≧f(x)

という形に持っていかなくてはなりません。もし、x×x×(h-x)という式のまま相加相乗平均の関係を使うと、

3×〔x×x×(h-x)〕^1/3 ≦ x + x + (h-x) = h + x →変数

となってしまうため、f(x)≦(変数)となり、上手くいきません。

なので少し工夫して、x/2 × x/2 × (h-x) の最大値を求める事にしたのです。ここで相加相乗平均の関係を使うと、

x/2 + x/2 + (h-x) ≧ 3 × 〔1/4 × f(x)〕^1/3

→ h ≧ 3 × 〔1/4 × f(x)〕^1/3

→ 4h^3/27 = (定数) ≧ f(x)

となり、上手くf(x)の最大値が求まる、ということです。どうでしょうか。 

id:massa-will

わかりやすく教えてもらい、すっきりと理解できました。すばらしいです。ありがとうございます。

2008/08/05 00:15:05
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/08/10 13:01:03
    私ならば<問題>の解法を「解答例」の「解答」の考えだけで十分だと思います。

    「研究」は「相加平均・相乗平均の問題」に無理にこじつけてややこしくしているだけに感じます。

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