＜問題＞

解答例にも載っていますが、体積Ｖについて、

Ｖ＝（Π・r^2/h^2)×x^2(h-x)

が成り立つことはわかります。この式について、変数はｘのみですね。Πもｒもｈも、全て定数なわけですから、x^2(h-x)の最大値を求めれば言いわけです。

よって、x×x×（h-x)の最大値を求める事を目指します。赤文字を書かれた、「下でx^2・（h-x)を作るための変形」と書かれているのは、このためです。（以下、f(x)=x×x×（h-x)）とします。）

ところで、相加相乗平均の関係を使って最大値を求める場合、

（定数）≧f(x)

という形に持っていかなくてはなりません。もし、x×x×（h-x)という式のまま相加相乗平均の関係を使うと、

3×〔x×x×（h-x）〕^1/3　≦　x + x + (h-x)　＝　h + x →変数

となってしまうため、f(x)≦（変数）となり、上手くいきません。

なので少し工夫して、x/2 × x/2 × (h-x) の最大値を求める事にしたのです。ここで相加相乗平均の関係を使うと、

x/2　＋　x/2 ＋　（h-x)　≧　３　×　〔1/4　×　f(x)〕^1/3

→　h　≧　３　×　〔1/4　×　f(x)〕^1/3

→　4h^3/27 ＝　（定数）　≧　f(x)

となり、上手くf(x)の最大値が求まる、ということです。どうでしょうか。