<問題>

高校数学の問題。
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080904140709
<解答例>
http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20080904140826
<質問>
(1)の問題文下のヒント、円で囲んであるところです。
これは"xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"と同値になるのでしょうか?
よくわかりません。わかりやすく教えてください。(Eは「属する」の記号)
また、(2)の解答例について、読解が困難です。少し噛み砕いてもらえませんか?
よろしくお願いします。

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/09/04 14:25:40
  • 終了:2008/09/05 14:21:45

ベストアンサー

id:idetky No.5

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/09/05 09:57:23

ポイント180pt

あー!!書いては間違って閉じてしまうという事を2度も繰り返してしまった。。。orz



もう簡単に書きます。。



n^(p-1)というのは、nを(p-1)回かけていることを意味するので、

これをばらばらにして、

1・2・3・・・(p-1)の間に埋め込んでやります。

すると、

n^(p-1)1・2・3・・・(p-1)=1×n・2×n・3×n・・・(p-1)×n・・・(1)

と変形できます。

ここで、最初の問題から、

1・2・3・・・(p-1)、1×n・2×n・3×n・・・(p-1)×n

⇒あれ?「1・2・3・・・(p-1)」これは1から(p-1)までの自然数の要素から出来てるぞ!

「1×n・2×n・3×n・・・(p-1)×n」はそれぞれの要素をn倍したやつだ。

⇒最初の問題が応用できるかもしれない。よく判らないけど。。。

⇒「nkをpで割った時の余りをrkとする」とあるから、これを使って式を書くと。。。

⇒nk=(ak)p+(rk)となるんだから、これで式(1)を変形してみよう!

という発送が(なぜか)生まれるわけです。

これに従うと、

1×n=(a1)p+(r1)

2×n=(a2)p+(r2)

3×n=(a3)p+(r3)

(p-1)×n=(a(p-1))p+(r(p-1))

なので、

(1)⇒{(a1)p+(r1)}{(a2)p+(r2)}{(a3)p+(r3)}・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}・・・(1’)

と変形されます。

さて、ここで、

(ap+i)(bp+j)=(abp+ai+bj)p+ij

を見てください。これの意味するものは、

(ap+i)(bp+j)=○p+ij

す。つまり、左辺に(△p+◎)という項をかけても必ず右辺は(△p+ij◎)

という形になるということです。

とくに注目は、(△p+ij◎)ここ。

さて、(1’)にもどると、まさにこの形。おいしいですね。

{(a1)p+(r1)}{(a2)p+(r2)}{(a3)p+(r3)}・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}

⇔(まず左の二つの項の掛け算を変形してみる)

(◎p+r1・r2){(a3)p+(r3)}・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}

⇔(三番目の項の掛け算も変形してみる)

(□p+r1・r2・r3)・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}

⇔全てを変形してみる

●p+r1・r2・r3・・・(r(p-1))

と変形できるわけです。

ここで、最初の問題から、

「nkをpで割った時の余りをrkとすると集合rkは1からp-1までの自然数の集合と一致する」ので、

r1・r2・r3・・・(r(p-1))=1・2・3・・・(p-1)

となるため、結局、

n^(p-1)1・2・3・・・(p-1)=●p+1・2・3・・・(p-1)

n^(p-1)1・2・3・・・(p-1)-1・2・3・・・(p-1)=●p

{n^(p-1)-1}×1・2・3・・・(p-1)=●p

となります。

以下略。

id:massa-will

「よくこれだけの難問をこんなにわかりやすく解説できるなあ」が率直な感想です。

すごいです。とてもわかりやすく、大変によくわかりました。ありがとうございました。

PS:コメントもありがとうございます。消えていましたが十分によくわかりました。

2008/09/05 14:00:25

その他の回答(4件)

id:yuki333zityo No.1

yuki333zityo回答回数719ベストアンサー獲得回数132008/09/04 15:36:04

ポイント200pt

いえ、同値ではありません。"xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"というのは、問題文下のヒントでいう四角の二番の考え方と同値です。xEAのとき、xをAの「元」であるといいます。Aの要素(この問題でいう1、2、3、・・・、P-1)は全て元です。

A⊆B→Aの元が全てBに含まれると考える。(xEAならばxEB)

B⊆A→Bの元が全てAに含まれると考える。(xEBならばxEA)

集合論の問題で、A=Bを示すときはこの考え方がよく使われます。ただ、今回はこれとは違う解き方をしているようです。

さて、(2)です。

(2)の解答の最初に書いてある、「(ap + i)(bp + j)=p(abp + aj + bi) + ij」というのは、

「(a1p + r1)(a2p + r2)・・・・・(ap-1 + rp-1)=Np + r1r2・・・rp-1」

が理解できるならば、読み飛ばしちゃってOKです。a、b、i、jが自然数ならば、「(ap + i)(bp + j)・・・」という形のものは、

(ap + i)(bp + j)・・・=p×(自然数)+ (定数項の積)

のように変形できるということの理解を助けるために書いてあるだけです。(定数項とは、上でいうi、jなどのことです。)

さて、(1)で証明したことを用いるために、nk=akp + rkとおきます。nkをpで割ったときの商をak、あまりをrkと置いたわけですね。

k=1のとき、n・1=a1p + r1

k=2のとき、n・2=a2p + r2

となります。ここで、(2)の問題文で出てきている「n^(p-1)」という形を作るために、

n・1 × n・2 × ・・・・・ ×n・(p-1)を計算します。

そうすると、a1~a(p-1)、r1~r(p-1)は全て自然数ですので、

「(a1p + r1)(a2p + r2)・・・・・(ap-1 + rp-1)=Np + r1r2・・・rp-1」

となります。(Nは自然数)

ここで、(1)より、r1~rp-1というのは全て集合(rk|kEA)の元であり、Aの全ての元と一致します。よって、r1r2・・・rp-1=1・2・・・・・(p-1)

となるわけですね。こういうことを用いて変形していくと、最終的に

(n^(p-1)ー1)・1・2・・・・・(p-1)=Np

となりました。右辺は(自然数)×pなので、pの倍数です。ということは、左辺もpの倍数になっていなくてはなりません。つまり、左辺の素因数の中にpが入っていなくてはならないのですが、pは素数です。2~(p-1)まで、全てと互いに素です。よって、1・2・・・・(p-1)だけではpという素因数を作り出せません。だから、(n^(p-1)ー1)がpの倍数になっていなくてはならないのです。よって、(n^(p-1)ー1)はpで割り切れるということです。

結構難しい問題ですね!自分でも解答に自信がないです・・・。

id:massa-will

回答をありがとうございます。(1)のほうですが、ヒント1と青円が同値になる理由を

もう少し教えてもらえますか?rkの真理集合をBとして、青円であっても、逆にAの要素が

漏れなくBの要素に一致するかは不確かに感じるのです。お願いします。

(2)については、まだ一生懸命に読んでいる最中です。

>結構難しい問題ですね!

どおりで難しいはずです。yuki333zityoさんでも、そう言われるのですね。

2008/09/04 16:50:31
id:kappagold No.2

kappagold回答回数2710ベストアンサー獲得回数2482008/09/04 16:49:28

ポイント40pt

(1)は、あまり見ない形の証明ですね。

ヒントを見ても何を言っているのか良く判らず、かなり考え込んでしまいました。


ヒントの前半にある通り、この解答では、{rk|kEA}の要素をすべて求めて、それがAと完全に一致することを示す事によって、証明がなされています。

(通常は、要素をすべて求めるということはしないので、"xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"を示して、一致するということを証明します。この解き方は珍しいと思います。)


解答の方に少し付け加えるとすると、

(青下線の)それぞれ相異なるP-1個の値をとる、という文章の後に、

従って、{rk|kEA}は、1~P-1までのすべての数の集合である。

Aは、1~P-1までのすべての数の集合なので、

{rk|kEA}=A

となります。

これで少し判りやすくなりましたでしょうか。


ヒントで青丸で囲ってあるところは、集合が一致する("xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"と同値である)ことを証明するためのヒントではなく、{rk|kEA}のすべての要素を求めるための背理法のヒントとして書かれているものです。

id:massa-will

回答をありがとうございます。(1)のほうは、解答例はわかるのですが、ヒント1と青円を

結びつけることがまだちょっとできません。青円は必要条件に過ぎないのではないでしょうか?

2008/09/04 17:21:42
id:idetky No.3

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/09/04 16:32:51

ポイント20pt

> "xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"と同値になるのでしょうか?

ちょっと勘違いしていますね。

まるで囲ってある部分(以下○○○と書く)は、

「rkが1からp-1までの自然数の集合であることを証明するために、」

「○○○を使って証明することにしましょう!」

と方針を述べているだけです。

rkが「rkが1からp-1までの自然数の集合」ならば、その要素の中には

「ダブり」があってはいけないですよね。

ダブりがあるというのは

「rkの要素の中にri=rjとなる組み合わせがある。(ただしi≠jとする)」ということですから、

「rkが1からp-1までの自然数の集合」

「1からp-1までの自然数の集合rkの要素の中ではi≠jならば、かならずri≠rj」

となりますよね。

そこで、(1)ではri=rjと仮定すると矛盾が生じますよ!と証明しているわけです。


(2)はまた後ほど

id:massa-will

回答をありがとうございます。"xEAならばxEB かつ xEBならばxEA"の考えは勘違いでした。

質問を書くときに何を思ったか加えてしまいました。(1)のほうは、解答例はわかるのですが、

その解答例と青円を結びつけることがまだちょっとできません。青円は必要条件に過ぎない

のではないでしょうか?

2008/09/04 17:18:35
id:yo-kun No.4

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/09/04 22:12:45

ポイント60pt

高校数学の中でも地味に難しい整数論ですね。


>その解答例と青円を結びつけることがまだちょっとできません。青円は必要条件に過ぎないのではないでしょうか?

例えば二つの集合A,Bが

A={1,2,3}

B={a,b,c}

のとき、a,b,cが全て相異なること(つまりa≠b、a≠c、b≠c)は必要条件ですね。

なぜならばA=BのためにはAの要素数とBの要素数が同じ必要があるからです。


しかしaもbもcも1~3のいずれかであることがわかっている場合、

a,b,cが全て相異なることはA=Bの必要条件であり、また十分でもあることはおわかりでしょうか?

a,b,cが全て相異なれば、a,b,cの中に1と等しいものがあります。

1と等しいものが無いとするとa,b,cは2か3であり鳩の巣原理よりa,b,cの中に等しいものが存在してしまうからです。

同様にa,b,cの中に2と等しいものがあります。

さらに同様にa,b,cの中に3と等しいものがあります。

a,b,cは1~3のいずれかでしかないわけですからA=Bとなります。


この(1)の問題も同様です。

A={1,…,p-1}

B={r1,…,r(p-1)}

まずそれぞれのriはpで割った余りですので0以上p-1以下であることはわかっています。

またnもkもpと互いに素であることがわかっていますのでnkをpで割って余りが0となること(割り切れること)はありえません。

つまりそれぞれのriは1からp-1までの自然数のどれかであることがわかります。

ここまでわかっていればri≠rj(i≠j)を示せば必要かつ十分なのです。

id:massa-will

初めはうまく質問できずにいましたが、そこを悩んでいました。

要点がよくわかりました。ありがとうございます。

2008/09/04 23:42:49
id:idetky No.5

idetky回答回数426ベストアンサー獲得回数202008/09/05 09:57:23ここでベストアンサー

ポイント180pt

あー!!書いては間違って閉じてしまうという事を2度も繰り返してしまった。。。orz



もう簡単に書きます。。



n^(p-1)というのは、nを(p-1)回かけていることを意味するので、

これをばらばらにして、

1・2・3・・・(p-1)の間に埋め込んでやります。

すると、

n^(p-1)1・2・3・・・(p-1)=1×n・2×n・3×n・・・(p-1)×n・・・(1)

と変形できます。

ここで、最初の問題から、

1・2・3・・・(p-1)、1×n・2×n・3×n・・・(p-1)×n

⇒あれ?「1・2・3・・・(p-1)」これは1から(p-1)までの自然数の要素から出来てるぞ!

「1×n・2×n・3×n・・・(p-1)×n」はそれぞれの要素をn倍したやつだ。

⇒最初の問題が応用できるかもしれない。よく判らないけど。。。

⇒「nkをpで割った時の余りをrkとする」とあるから、これを使って式を書くと。。。

⇒nk=(ak)p+(rk)となるんだから、これで式(1)を変形してみよう!

という発送が(なぜか)生まれるわけです。

これに従うと、

1×n=(a1)p+(r1)

2×n=(a2)p+(r2)

3×n=(a3)p+(r3)

(p-1)×n=(a(p-1))p+(r(p-1))

なので、

(1)⇒{(a1)p+(r1)}{(a2)p+(r2)}{(a3)p+(r3)}・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}・・・(1’)

と変形されます。

さて、ここで、

(ap+i)(bp+j)=(abp+ai+bj)p+ij

を見てください。これの意味するものは、

(ap+i)(bp+j)=○p+ij

す。つまり、左辺に(△p+◎)という項をかけても必ず右辺は(△p+ij◎)

という形になるということです。

とくに注目は、(△p+ij◎)ここ。

さて、(1’)にもどると、まさにこの形。おいしいですね。

{(a1)p+(r1)}{(a2)p+(r2)}{(a3)p+(r3)}・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}

⇔(まず左の二つの項の掛け算を変形してみる)

(◎p+r1・r2){(a3)p+(r3)}・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}

⇔(三番目の項の掛け算も変形してみる)

(□p+r1・r2・r3)・・・{(a(p-1))p+(r(p-1))}

⇔全てを変形してみる

●p+r1・r2・r3・・・(r(p-1))

と変形できるわけです。

ここで、最初の問題から、

「nkをpで割った時の余りをrkとすると集合rkは1からp-1までの自然数の集合と一致する」ので、

r1・r2・r3・・・(r(p-1))=1・2・3・・・(p-1)

となるため、結局、

n^(p-1)1・2・3・・・(p-1)=●p+1・2・3・・・(p-1)

n^(p-1)1・2・3・・・(p-1)-1・2・3・・・(p-1)=●p

{n^(p-1)-1}×1・2・3・・・(p-1)=●p

となります。

以下略。

id:massa-will

「よくこれだけの難問をこんなにわかりやすく解説できるなあ」が率直な感想です。

すごいです。とてもわかりやすく、大変によくわかりました。ありがとうございました。

PS:コメントもありがとうございます。消えていましたが十分によくわかりました。

2008/09/05 14:00:25
  • id:kappagold
    青円は、{rk|kEA}のすべての要素を求めるためのヒントです。
    ちょっと文章がおかしいような気がするので、
    私なりにヒントの文章に少し変更を加えると
    ここでは、1の方針で行く。→ (すべての要素を求めるには、) rkEAと・・・・で示す。すなわち、≠は、・・・・背理法が有効。
  • id:massa-will
    上の回答とあわせて、何度も読んでいくうちにようやく
    理解できたような気がします。ありがとうございます。
  • id:yuki333zityo
    yuki333zityo 2008/09/04 22:48:28
    (1)と青円がなぜ結びつくのか。解説してみます!

    まずAの要素は「1、2、3、・・・・・・・・、(p-1)」の計(p-1)個です。これは問題文に書かれていますね。

    つまりA=Bになるためには、Bの要素も「1、2、3、・・・・・・・・、(p-1)」の計(p-1)個になる必要があるわけです。

    ということは何を示せばいいかというと、


    ①Bの要素が全て集合Aに含まれていること。

    ②Bの要素が(p-1)個であること。

    の二つです。この2つの条件が揃えばA=Bが示される事はわかりますでしょうか。理解しずらかったらもう一度コメントください♪以下、B={rk|kEA}とします。

    ①は「ヒント」の「rkEA」というのが当てはまります。

    ②は「ヒント」の「i≠j ならば、ri ≠ rj」です。これは間接的ですね。iとjはAの要素であることをしっかり書くべきだと思いました!「i≠j ならば、ri ≠ rj」が示されるとどうなるかというと、

    r1~r(p-1)の計(p-1)個の数字が、どれも等しくないということになります。

    さて、集合Bの定義は、B={rk|kEA}です。つまり

    B={r1、r2、r3、・・・・・、r(p-1)}

    となります。このr1~r(p-1)の要素が、どれも互いに等しくなかったら、Bの要素の数は(p-1)個になります。つまり、「i≠j ならば、ri ≠ rj」が示されれば、Bの要素の数が(p-1)個に決定されるのです。

    よって、①②がともに成り立てば、A=Bが示される事になります。①②が成り立つというのは、言い換えれば「ヒント」の「rkEAかつ、i≠j ならば、ri ≠ rj」が成り立つということなのです。どうでしょうか!
  • id:massa-will
    ドンピシャの解説です。ものすごくわかりやすいです。
    完全に解決です。ありがとうございました!
  • id:idetky
    (2)の方は、パターンを知ってれば解ける問題だけど、本番では知らなければ捨てる問題なぁ。数論得意が得意でない人ならば特に。



  • id:idetky
    あっ、折角開いてもらったのに、なぜか一部が消えてる。。orz

    > を見てください。これの意味するものは、

    >(ap+i)(bp+j)=○p+ij

    >す。つまり、左辺に(△p+◎)という項をかけても必ず右辺は(△p+ij◎)


    は、

    を見てください。この式を見やすくすると、
    (ap+i)(bp+j)=○p+ij
    となります。
    それでは、さらに両辺に(cp+k)をかけてみましょう。すると、、
    (ap+i)(bp+j)(cp+k)=(○p+ij)(cp+k)=□p+ijk
    となります。
    つまり、
    <strong>左辺に(△p+◎)という項をかけても必ず(△p+●○□)という形になるということです。</strong>



  • id:massa-will
    今回は、yuki333zityoさんとidetkyさんのうち、どちらがイルカ賞かと迷いました。
    yuki333zityoさんは特にコメント欄の回答が抜群でした。idetkyさんは特に(2)の回答が
    すごったです。ですから、本来は2名にイルカ賞ですが、引き分けで賞をなしにするのも自分
    の気がすみませんでした。悩んだ末の賞は、idetkyさんの(2)です。おめでとうございます!
    また、皆さんあわせて、ありがとうございます。
  • id:idetky
    ありがとうございまーす!

    実は(2)に関しても
    数学的にはyuki333zityoさんの解が正確で完璧な答案なんですが、
    砕いた書き方&思考の順番で説明したほうが、
    とりあえず理解するにはわかりやすいと思って、
    ああいう風に書いたのが良かったみたいですね。


  • id:yuki333zityo
    yuki333zityo 2008/09/05 22:13:47
    あちゃぁ!参りましたm(__)m

    今自分の解答を読み返してみると、めちゃくちゃ抽象的だったように思えます。自分が完璧に理解できてないからこういう事になっちゃうんだなって思います。なので次回からは完璧に理解してから解答しようと思います!(たぶん(ノ∀`*))
  • id:massa-will
    本来はお二方ともチャンプです。ありがとうございます。

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