純粋な数学(幾何学)の問題です。頭の体操ですので、気軽に回答下さい。

等辺長の多角形(角数と辺数とは同じとする)で規定される性質を書いてください。(内角の和は不要です)
例として3角形の時:正三角形、全ての角が等しい・・・  4角形:対辺が平行、一つの角が直角だと正方形になる・・・ 五角形:2つの角度が108度だと正五角形・・・ 六角形位になると複雑になります。1組の対角が等し時、他の2組の対角もそれぞれ等しい・・・等々
例に挙げた内容の回答は不要です(例に誤りがあれば別の回答を下さい)
凹多角形も、辺が交差した物も含みます。(角数と辺数(等辺長)とは同じとする)の平面多角形に限ります。
順次回答を開けてゆく予定です。その場合、すでに他の方が回答があって閲覧状態になった同内容の重複回答は控えてください。

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2008/09/28 13:56:20
  • 終了:2008/10/02 22:06:48

ベストアンサー

id:imo758 No.3

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192008/09/28 22:01:33

ポイント60pt

n-3個の内角が180-360/n度の等辺凸n角形は正n角形だけではないでしょうか。

まず不確定の3個を除いて辺を繋ぎ合わせます。

すると形が定まった3本の折れ線が得られます。

1.折れ線の端点を接続するのですが、折れ線は形が定まっているので

三角形の三辺一致のごとく、ただ一通りしか接続方法がありません。

(ただし凸という条件がないと裏返しが生じてしまう)

2.また正n角形は確かにこの接続後の形の候補のひとつであり、存在します。

id:yamadakouzi

ありがとうございます。確かにその通りだと思います。一番上の記述は数学的帰納法で証明できるとおもいます。1and2に付いては検証します。

回答としては、このように汎用的に使える結論が出るのは嬉しい限りです。

2008/09/29 10:53:00

その他の回答(4件)

id:jo_30 No.1

jo_30回答回数655ベストアンサー獲得回数532008/09/28 17:54:09

ポイント30pt

上にあげられた多角形の別の性質でも良いですか?

○等辺長の四角形

 ・対角線は必ず直交する

 ・必ず線対称形になる(直線によって合同な二つの形に分割することができる。三角形も同じ性質を持つが五角形以上だと成り立たない)

など。

id:yamadakouzi

質問の趣旨はその通りです。(おなじ多角形の別の性質)

次の回答も期待してます。(一応5回まで設定してますので)

2008/09/28 20:11:42
id:psycho24 No.2

psycho24回答回数586ベストアンサー獲得回数512008/09/28 19:20:32

ポイント21pt
  • 正三角形

形は不変である

id:yamadakouzi

ありがとうございます。もう少し捻った回答も期待してます。

2008/09/28 20:11:45
id:imo758 No.3

imo758回答回数121ベストアンサー獲得回数192008/09/28 22:01:33ここでベストアンサー

ポイント60pt

n-3個の内角が180-360/n度の等辺凸n角形は正n角形だけではないでしょうか。

まず不確定の3個を除いて辺を繋ぎ合わせます。

すると形が定まった3本の折れ線が得られます。

1.折れ線の端点を接続するのですが、折れ線は形が定まっているので

三角形の三辺一致のごとく、ただ一通りしか接続方法がありません。

(ただし凸という条件がないと裏返しが生じてしまう)

2.また正n角形は確かにこの接続後の形の候補のひとつであり、存在します。

id:yamadakouzi

ありがとうございます。確かにその通りだと思います。一番上の記述は数学的帰納法で証明できるとおもいます。1and2に付いては検証します。

回答としては、このように汎用的に使える結論が出るのは嬉しい限りです。

2008/09/29 10:53:00
id:yo-kun No.4

yo-kun回答回数220ベストアンサー獲得回数302008/09/29 00:10:05

ポイント40pt

・正十七角形

なんと、コンパスと定規を使って作図できるそうです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/17%E8%A7%92%E5%BD%A2

id:yamadakouzi

有難うございます。フェルマー素数が関連しているそうですね。正十七角形は何とかかけても、正257角形、正65537角形は大変でしょうね。

いま自然界で17の倍数になっている物があるか、調べています。

2008/09/29 11:02:54
id:rsc96074 No.5

rsc回答回数4398ベストアンサー獲得回数4032008/09/30 05:06:50

ポイント40pt

 気軽に回答して下さいということで、・・・。

 「等辺長の多角形のうち、正多角形が、面積が最大になる。」というのはどうでしょうか。

たとえば、四角形:菱形のうち、正方形が、面積が最大になる。

id:yamadakouzi

それは正多角形でしょう。証明はしませんが、「面積」対「周長」比が最大の平面図形は「円」です。

多辺形も円に近い物(正家計多角形)が最大になります。既知の常識的事実です。

間違っていてもいいです、思い込みでもいいです、何かあなた自身が発見した事実(必ずしも真実とは限らない)を回答していただければうれしいです。次の回答を期待しています。

2008/09/30 22:57:31
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/28 14:07:46
    訂正  誤り「五角形:2つの角度が108度だと正五角形・・・」 ==>正「----- 144度 ----」です
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/28 14:14:49
    再訂正、訂正を取り消します、慌てていました。「五角形:2つの角度が108度だと正五角形・・・」で正しいです。 
  • id:sentakuita
    凹五角形ABCDE<BR>
    角ABC=角BCD=108度、角CDE=角EAB=36度、角DEA=252度。<BR>
    なんてダメですか、そうですか。<BR>
    <BR>
    一辺直角の四角形も三次元に展開すると怪しいことになるです。<BR>
    (1,0,0)(0,1,0)(-1,0,0)(0,0,1)の順に4つの頂点とする四角形。<BR>
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/28 20:23:03
    sentakuitaさんOKです。がどこまでが条件でどこからが恒常的に導き出されるのか区切りが分かりにくいです。(「で」とか「ならば」「となる」などがほしい)
    2番目ですが、一応2次元多角形に限定させていただきます。(4角形でもかなり複雑な性質が考えられますのでそれ以上になると・・・とても検証し切れません)
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/28 20:48:48
    例で書いた「4角形(A):対辺が平行(B)、一つの角が直角だと正方形になる(C)・・・」は
    「Aの場合BならばC」と言うのでなく、「AならばB及びCが単独で導き出せる」と言うことです。
    ややこしい書き方をしてすみません。
  • id:imo758
    間違っていたらすいません
    例にある正五角形は凹ませたら反例が作れそうな気がしますが。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/29 11:07:16
    imo758さんすべての角を反転させれば星型正五角形になると思います。
  • id:jo_30
    ええと…確認ですが「正○角形」でなく、「等辺○角形」の一般的性質に関する質問ですよね?
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/29 14:13:23
    imo758さん すみません、反例が思いつかなくて、裏返しを書いてしまいました。決して「反例」と「裏返し」を混同しているわけではありません。
    sentakuitaさんの出された例は三本の辺が2との108度の角を挟んでその後30度、252度、30度となりますので、imo758さんの回答の「反例」ではないようです。

    io_30さん その通りです「正○角形」でなく、「等辺○角形」の一般的性質です。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/29 14:24:51
    imo758さん、すみみません。私の「例」の「正5角形になる」の「反例」になっていました。
    と言うより「例」の記述に誤りがあった事を認めます。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/29 14:45:12
    imoさん 「等辺長多角形」と「少しの条件を追加」しただけで「一意的に図形の性質を決定」は難しいものですね。「冗長にならず最低の条件付加」を狙いたいのですが。
    少し、頭を冷やして検証していきたいと思います。お騒がせしてすみません。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/30 00:09:40
    以下のことが分かりました。(認識間違いがあれば指摘ください)
    ○1 等辺長五角形(五辺形)で108度の角が2つあるのは3つのパターンあり、1つ目は正五角形、2つ目はsentakuitaさんが提案下さった凹五角形、3つ目は剣型(逆さにすれば壺型)、いずれも、左右対称ですね。
    ○2 等辺長四角形は「菱形」と定義できますね(1つの角を直角にすると全ての角が直角になる、つまり正方形)・・・辺の重なり(角度0)は無いとして。

    ◎ ○1の一般化として、「等辺長五角形(五辺形)は2つの角(隣接または離れ)の角度が等しければ残りうち2つの角度は等しく左右対称になる」は言えるでしょうか?
  • id:jo_30
    『jo_30さん その通りです「正○角形」でなく、「等辺○角形」の一般的性質です。』
    回答ありがとうございました。

    『○1の一般化として、「等辺長五角形(五辺形)は2つの角(隣接または離れ)の角度が等しければ残りうち2つの角度は等しく左右対称になる」は言えるでしょうか?』
    言えそうですね(スマートな証明を示せれば良いのですが)。
    なるほど、そういう風に更に条件を更に設定するのも有りなわけか……ちょっと投げだしかけていましたが、もう少し考えてみます。

  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/30 23:17:16
    io_30さん 気軽に回答下さい。必ずしも真実を求めているわけではありません。(モットもらしいウソもおもしろい)遊びです。

    皆さん、対角線、交角、垂線なども考えて見ても面白い現象が見えると思いますが。
    ちなみに、対角線数は多角形が崩れようが、正多角形であろうが同じです N=n*(n-1)/2-nなのでこの回答はいりません。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/30 23:24:10
    訂正 回答5 rsc96074さんへの返信のなかで「多辺形も円に近い物(正家計多角形)が最大になります。」の「家計」は余計でした。変換ミスです。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/09/30 23:37:28
    皆様、証明は要求しません、また真実である必要もありません。「等辺長多角形(正多角形の角度の制約を外した物)にこんな面白い性質を見つけた」程度で結構です。

    その中から、真実や、新たな法則を見つけたいと思うのです。
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/10/02 22:19:46
    皆様、申し訳ありませんが、回答が止まった様ですので終了しました。質問の出し方が悪かったようです。
    一応、自動配点は各20点です。sentakuitaさんにも若干ですがPOINTを送りたいと思います。
    rsc96074さん、ヒドイ返信をしてすみませんでした。面積と周長の関係を証明する方法として幾何や代数を使わなくても、物理的方法(アナログ法)も有るのをご存知ですか、簡単ですので是非考えてみてください。(ヒント水を使う)
  • id:SALINGER
    ちょっと通りすがりに、気になったことがあったので。
    >いま自然界で17の倍数になっている物があるか、調べています。
    17年蝉は有名ですね。17年周期で繁殖する蝉です。
    蝉には素数周期で繁殖をする種類がいて、その理由を知るとなるほどと思えます。
    http://homepage.mac.com/tuyano/iblog/C1653772498/E100612195/
  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/10/23 21:39:40
    SALINGERさん 情報ありがとうございます。そういえば17年セミは有名ですね、日本のセミも7年とか13年と言われるのがいるようですね。すっかり忘れていました。
    ダンゴ虫の歩脚が7対なのですが、エビやカニ、ムカデ、昆虫も含め節足動物の場合は、多数の肢が触覚や口器になったりそれぞれの機能に分化したようですので、7対の”7”にどれ程の意味があるのかが分かりません。
    タンポポに似た花の種が17の倍数が多かったのを見たことがありますが。自然現象に対数やフィボナッチ数がよく表れる事は有名なのですが、まだまだ不思議な数列が出そうですね。そう言うのを捜すのも面白いと思っています。連続する数の単なる「通過数」でなく、確固とした地位を確立している数として。
    「それが何になるねん」と言われれば、「単なる興味、暇つぶし」と答えるかも。

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