1+x+x^2+x^3+・・・・=1/(1-x)が、|x|<1の時に成立することは、分かりましたが、両辺を自乗し、

1+2x+3x^2+4x^3・・・=1/(x-1)^2 となり、x=-1とおくと、
1-2+3-4+5-6・・・・=1/4 とオイラーは、出していますが、正しいのでしょうか?

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2008/12/07 20:58:39
  • 終了:2008/12/08 12:23:45

回答(5件)

id:yamadakouzi No.1

yamadakouzi回答回数296ベストアンサー獲得回数62008/12/07 22:32:22

ポイント25pt

何か式の写し間違いでは無いですか?

極限値の問題でしょうが、実際に数値を入れて計算すると(x/2)と(-x/2)の値が繰り返し、発散します。平均値は0になります。

id:yamadakouzi No.2

yamadakouzi回答回数296ベストアンサー獲得回数62008/12/07 22:46:04

ポイント25pt

追加事項です(書き忘れ)写し間違いと思う根拠

こう言う数列は(同じ数を使っても)数の並び方、くくり方でさまざまな極限値を示します。

id:rsc96074 No.3

rsc回答回数4386ベストアンサー獲得回数4012008/12/07 23:00:50

ポイント25pt

 間違いじゃないでしょうか。しかも、右辺がすべて整数なのに、左辺が分数になるのも直感的に納得いきませんねぇ。

 ちなみに、左辺の部分和を求めて、極限を求めてみると、

S[n]=1+2x+3x^2+4x^3+・・・+nx^(n-1)

={1-x^n}/(1-x)^2-{nx^n}/{1-x} ←これは、公式集から見つけました。

ここで、x^n=R, x=-1と置いてみると、

S[n]={1-R}/4-{nR}/2={1-(2n+1)R}/4

・n=2mのとき、R=1で、n→∞のとき、m→∞

∴S[2m]={1-(4m+1)}/4=-m

∴lim[m→∞]S[2m]=-∞

・n=2m+1のとき、R=-1で、n→∞のとき、m→∞

∴S[2m+1]=[1+{2(2m+1)+1}]/4=m+1

∴lim[m→∞]S[2m+1]=∞

 よって、左辺は振動するので、収束しませんから、発散します。

したがって、2番目の式1+2x+3x^2+4x^3・・・=1/(x-1)^2は恐らく、間違いではないでしょうか。

 コメントを開けて下されば、運よく見返したときにコメントをつけられます。

id:auren No.4

auren回答回数309ベストアンサー獲得回数42008/12/08 10:05:00

1+x+x^2+x^3+・・・・=1/(1-x)が、|x|<1の時に成立する

通りなので、x=-1を代入したらダメでしょう。

id:rsc96074 No.5

rsc回答回数4386ベストアンサー獲得回数4012008/12/08 10:22:07

ポイント25pt

 1行目、右辺と左辺を間違えていました。正しくは、

「左辺がすべて整数なのに、右辺が分数になるのも直感的に納得いきません」

 2番目の式は間違いというより、収束条件|x|<1のときのみ成り立ち、|x|≧1では成り立たないのではないでしょうか。

部分和S[n]={1-x^n}/(1-x)^2-{nx^n}/{1-x}=1/(1-x)^2-x^n/(1-x)^2-{nx^n}/{1-x}

|x|<1のとき、lim[n→∞]x^n=0, lim[n→∞]nx^n=0だから、n→∞のときS[n]→1/(1-x)^2

やっぱりここでも、収束条件|x|<1のときのみ成り立ち、x=-1のときは成り立たないようです。

  • id:ita
    http://ja.wikipedia.org/wiki/1-2%2B3-4%2B%E2%80%A6

    誰かが「解析接続」って言うかとおもってたのに・・・

  • id:yamadakouzi
    yamadakouzi 2008/12/08 18:27:05
    私の回答に一部おかしい所を発見された方も居られるかもしれません。
    「(x/2)と(-x/2)の値が繰り返し」の部分ですが、
    正確にはxが奇数の時{(x+1)/2}、偶数の時は{x/2}です。
    回答後、すぐに質問者にポイント送信にコメントをつけて訂正文をおくっておきました。
    また、これは岩波全書の「数学公式Ⅱ」に同じ式があります。
    ガウスはこんなヘマはしないとおもいますよ。

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