1+x+x^2+x^3+・・・・=1/(1-x)が、|x|<1の時に成立することは、分かりましたが、両辺を自乗し、

何か式の写し間違いでは無いですか？

極限値の問題でしょうが、実際に数値を入れて計算すると（ｘ/2）と（－ｘ/2)の値が繰り返し、発散します。平均値は０になります。

追加事項です（書き忘れ）写し間違いと思う根拠

こう言う数列は（同じ数を使っても）数の並び方、くくり方でさまざまな極限値を示します。

　間違いじゃないでしょうか。しかも、右辺がすべて整数なのに、左辺が分数になるのも直感的に納得いきませんねぇ。

　ちなみに、左辺の部分和を求めて、極限を求めてみると、

S[n]=1+2x+3x^2+4x^3+・・・+ｎx^(n-1)

={1-x^n}/(1-x)^2-{nx^n}/{1-x}　←これは、公式集から見つけました。

ここで、x^n=R, x=-1と置いてみると、

S[n]={1-R}/4-{nR}/2={1-(2n+1)R}/4

・n=2mのとき、R=1で、n→∞のとき、ｍ→∞

∴S[2m]={1-(4m+1)}/4=-m

∴lim[m→∞]S[2m]=-∞

・n=2m+1のとき、R=-1で、n→∞のとき、ｍ→∞

∴S[2m+1]=[1+{2(2m+1)+1}]/4=m+1

∴lim[m→∞]S[2m+1]=∞

　よって、左辺は振動するので、収束しませんから、発散します。

したがって、2番目の式1+2x+3x^2+4x^3・・・=1/(x-1)^2は恐らく、間違いではないでしょうか。

　コメントを開けて下されば、運よく見返したときにコメントをつけられます。

1+x+x^2+x^3+・・・・=1/(1-x)が、|x|<1の時に成立する

通りなので、x=-1を代入したらダメでしょう。

　1行目、右辺と左辺を間違えていました。正しくは、

「左辺がすべて整数なのに、右辺が分数になるのも直感的に納得いきません」

　2番目の式は間違いというより、収束条件|x|<1のときのみ成り立ち、|x|≧1では成り立たないのではないでしょうか。

部分和S[n]={1-x^n}/(1-x)^2-{nx^n}/{1-x}=1/(1-ｘ)^2-x^n/(1-x)^2-{nx^n}/{1-x}

｜x｜＜1のとき、lim[n→∞]x^n=0, lim[n→∞]nx^n=0だから、n→∞のときS[n]→1/(1-ｘ)^2

やっぱりここでも、収束条件|x|<1のときのみ成り立ち、ｘ＝-1のときは成り立たないようです。