＜問題・解答例＞

a^2=b^2の場合

a^2-b^2=0

(a-b)(a+b)=0

a=b or a=-b

の２解がでます。

例　a^2=4 なら、2^2=4 (-2)^2=4

a=bの場合、両辺を二乗してa^2=b^2は真ですが

a^2=b^2の場合、a=bとは限らないです。a=-bの場合もあります。

|a|=√(a^2)です

|a|=b　ならば a=±b

|a|<b　ならば -b < a < b</p>

|a|>b　ならば a < -b または　 b < a

になります。

数直線で考えるとわかりやすいと思います

－－－－(-b)－－－－(0)－－－－(b)－－－－

√の場合は『√の中は必ず正』という条件があります(虚数を考えない場合)

そのため√(式)　が出た場合は必ず「式＞＝０」を確認する必要があります。

または

条件を満たすために√(式)　より　「式は＞＝０」と置いて解くこともあります。

この手の問題はいつも説明がわかりにくいですよね・・・

求めている物とはちょっと違うかもしれませんが、細かい平方の話では無く「論理の流れ」からアプローチしてみますね。

(3), (4)の式が出てきている後は以下のことをやっています。

真の答であるb^2 = ○, c = ○ ---> (3), (4) が成り立つ

(3), (4)が成り立つ ---> (3)', (4)' が成り立つ

(3)', (4)'が成り立つ ---> [b^2 = 24, c = 15] もしくは [b^2 = -24/49, c = -15/7]

三つの論理をあわせると、

真の答であるb^2 = ○, c = ○ ---> (3), (4) が成り立つ ---> (3)', (4)' が成り立つ ---> [b^2 = 24, c = 15] もしくは [b^2 = -24/49, c = -15/7]

となります。

まとめると

真の答えであるb^2 = ○, c = ○ ---> [b^2 = 24, c = 15] もしくは [b^2 = -24/49, c = -15/7]

こうなったら、b^2は必ず正なので、b^2 = 24, c = 15ということになります。

以下、詳細に説明します。

まず一つめの矢印です。

真の答えは隠されていますが、真の答えであれば、(3), (4)は成り立つ、ということです。

しかし、絶対値やルートが登場して計算がしにくい状態です。ですので、二つめの矢印に移ります

二つめの矢印が何をしているかというと、

上記にも書かれていますように

|a| = √b であるならば、a^2 = bです (|a| = √b ---> a^2 = b)

ただし、bは正です。

一つめの矢印と二つめの矢印をあわせると、次のことがいえます。

真の答であるb^2 = ○, c = ○ ---> (3)', (4)' が成り立つ

次に三つめの矢印です。

(3)', (4)'が成り立つのであれば、連立方程式をといて、二つ回答が出てきます。

そのうち一つを選択しています。何で二つともやないねんと思われるかもしれません。

例えば、

---

僕は人間です。

人間は男もしくは女です。

よって、僕は男もしくは女です。

でも、僕は女では無く男です。

---

という感じです。

bとcの候補は二つ出てきましたが、一つは変(2乗がマイナス)なので違います。ということです。