高校数学の不定積分ですが、恥ずかしながら計算方法をど忘れしてしまいました。

Question

421

60pt

∫{1/√(2-x^2)}dx

なんですが、どうなりますでしょうか？
計算過程つきで、どうぞよろしくお願い致します。

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yo-kun · Answer 1 · 2009-07-07T14:10:10+09:00

置換積分を使います。

$x=\sqrt2 \sin t$

とすると

$dx=\sqrt2 \cos t dt$

ですから

$\int \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}dx=\int \frac{\sqrt2 \cos t}{\sqrt{2(1-\sin^2t)}}dt=\int dt = t$

さて

$x=\sqrt2 \sin t$

でしたから

$t=\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt2}$

です。

従って

$\int \frac{1}{\sqrt{2-x^2}}dx=\sin^{-1} \frac{x}{\sqrt2}$

です。

回答（1件）