大学の量子力学の問題を解いていただきたいです。(中身は数学だと思われます)

手も足も出ないので、解答をみて理解をしたいです。以下、3問ありますが、1問につき150pt差し上げます。

※A^はAハット、h-はhバー

(1)
演算子A^, B^, C^に対して、
[A^, B^C^] = [A^, B^]C^ + B^[A^, C^]・・・式1
が成り立つことを示しなさい。

(2)
位置演算子q^および運動量演算子p^の間には次の交換関係が成立する。
[q^, p^] = ih- ・・・式2
式1, 2を用いて
[q^, (p^)^2] = 2i*(h-)*(p^) ・・・式3
が成立することを示しなさい。

(3)
p^ = -i*(h-)*(roundd / roundd q)
である。これを用いて式3を直接証明しなさい。

回答の条件
  • 1人3回まで
  • 登録:2009/07/23 00:38:34
  • 終了:2009/07/23 08:43:53

回答(3件)

id:vividcode No.1

nobuoka回答回数3ベストアンサー獲得回数02009/07/23 00:50:01

ポイント100pt

(1) と (2) は交換子さえ知っていれば中学生でも解けるレベルですよ。

(演算子のハットは省略します。)

交換子 [A, B] = AB - BA

(1)

演算子 A, B, C に対して、

(左辺) = [A,BC] = ABC - BCA

(右辺) = [A,B]C + B[A,C] = ABC - BAC + BAC - BCA = ABC - BCA

(2)

式 1, 2 より

[q,p^2] = [q,p]p + p[q,p] = i(h-)p + i(h-)p = i2(h-)p

-----

ね、簡単でしょ?

慣れるまでは大変だと思いますがわかってしまうと簡単なので頑張ってください。

id:sensepicker

ありがとうございます。

同一の回答が3件来てしまったので、200ptずつ差し上げます・・・

と思ったら、一人100ptしか差し上げられないのですね。。

2009/07/23 08:43:31
id:ttrr No.2

ttrr回答回数14ベストアンサー獲得回数42009/07/23 01:25:25

ポイント100pt

(1)

定義にしたがい丁寧に式を展開していきます。各等号が成り立っていることを計算で確かめてください。

 \[\hat{A}, \hat{B} \hat{C} \] = \hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{B}\hat{C}\hat{A}

 = \{\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\} \hat{C}+ \hat{B} \{\hat{A}\hat{C}-\hat{C}\hat{A}\}

 = \[\hat{A}, \hat{B}\]\hat{C}+\hat{B}\[\hat{A},\ \hat{C}\]  証終

(2)

 \[\hat{A}, \hat{B} \hat{C} \]= \[\hat{A},\ \hat{B}\]\hat{C}+\hat{B}\[\hat{A},\ \hat{C}\]

において、 \hat{A}=\hat{q},\, \hat{B}=\hat{C}=\hat{p}を代入すると

 \[\hat{q}, \hat{p} \hat{p} \]=\[\hat{q}, \hat{p}\]\hat{p}+\hat{p}\[\hat{q}, \hat{p}\]

 = i\hbar \hat{p}+\hat{p}(i\hbar)=2i\hbar \hat{p}  証終

(3)

任意のテスト関数 \psi(x)を考えると

 \[\hat{q}, \hat{p} \hat{p} \] \psi(x)= -i\hbar {q(\frac{\partial}{\partial q})^{2}-(\frac{\partial}{\partial q})^{2}q }\psi(x)

 = q(-i \hbar \frac{\partial}{\partial q})^{2}\psi(x)-(-i \hbar \frac{\partial}{\partial q})^{2}q \psi(x)

 = q(-i \hbar \frac{\partial}{\partial q})^{2}\psi(x)-(-i\hbar)^{2}\frac{\partial}{\partial q} \psi(x)-(-i \hbar)^{2}\frac{\partial}{\partial q}(q\frac{\partial}{\partial q}\psi(x))・・・(※)

 = q(-i \hbar \frac{\partial}{\partial q})^{2}\psi(x)-(-i \hbar)^{2}\frac{\partial}{\partial q} \psi(x)-(-i \hbar)^{2}\frac{\partial}{\partial q}\psi(x)-(\frac{\partial q}{\partial q})^{2}\psi(x)

最初の項と最後の項がたがいに打ち消しあいますので

 = -2(-i \hbar)^{2}\frac{\partial}{\partial q} \psi(x)

 = 2i\hbar (-i \hbar \frac{\partial}{\partial q})\psi(x)=2i\hbar{p}\psi(x)

となります。ここで\psi(x)は任意のテスト関数でしたので、結局演算子としての等式

 \[\hat{q}, \hat{p} \hat{p} \]=2i\hbar\hat{p}が直接示されたことになります。

※積の微分公式です。前微分+後ろ微分を用いました。

id:sensepicker

ありがとうございます。

同一の回答が3件来てしまったので、200ptずつ差し上げます・・・

と思ったら、一人100ptしか差し上げられないのですね。。

2009/07/23 08:43:36
id:biones No.3

ばいおねす回答回数3ベストアンサー獲得回数02009/07/23 04:34:11

ポイント100pt

(1)

[A,BC] = ABC-BCA+BAC-BAC = [A,B]C+B[A,C] ※1,4項、2,3項をまとめた

(2)

上の式でA=q,B=C=p とすれば

[q,p^2]=[q,pp]=p[q,p]+[q,p]p 式2の条件を使えば交換子はihに変わり

=2ip

(3)

混乱しないように適当な関数ψ(q)を持ってきて

[q,(h/i)^2 (roundd / roundd q)(roundd / roundd q)]ψ(q)

以下、-h^2を外に出して最後に掛ければ良いので省きます。

q*roundd / roundd q(roundd ψ(q)/ roundd q)) - roundd / roundd q (qψ(q))

=q*(roundd^2 ψ(q)/ roundd q^2) - roundd/roundd q(roundd / roundd q (qψ(q))

=q*(roundd^2 ψ(q)/ roundd q^2) - roundd/roundd q{ψ(q)+q*(roundd ψ(q)/ roundd q)}

=q*(roundd^2 ψ(q)/ roundd q^2) - roundd/roundd q{ψ(q)+(roundd ψ(q)/ roundd q)+q+(roundd^2 ψ(q)/ roundd q^2)}

=q*(roundd^2 ψ(q)/ roundd q^2) - {roundd ψ(q)/ roundd q + roundd ψ(q)/ roundd q + (roundd^2 ψ(q)/ roundd q^2)}

=2(roundd ψ(q)/ roundd q)

⇒-h^2*2*(roundd ψ(q)/ roundd q)

p^ = -i*(h-)*(roundd ψ(q) / roundd q)

でpに戻して

h^2*p*i/h=2pih

id:sensepicker

ありがとうございます。

同一の回答が3件来てしまったので、200ptずつ差し上げます・・・

と思ったら、一人100ptしか差し上げられないのですね。。

2009/07/23 08:43:40

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