円周率が4より小さいことを、きちんと数学的に証明するにはどうすればいいですか?

(正方形に内接する円を描いても、それだけでは証明にならないと思ったので)

回答の条件
  • 1人1回まで
  • 登録:2009/08/20 07:10:45
  • 終了:2009/08/20 09:16:59

ベストアンサー

id:KazuyaMitsutani No.3

KazuyaMitsutani回答回数6ベストアンサー獲得回数22009/08/20 07:57:53

ポイント50pt

まず,円の中心を原点とするような x-y 座標を導入します.

単位円の四分の一だけ考え面積を求めます.

円周上の y 座標を x 座標で表すと

y=\sqrt{1-x^2} (1)

となります.したがって円の面積の 1/4 は

S/4 = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx (2)

となります.ただし円の面積を S とおきました.

(2)式の被積分関数に関してですが x は実数なので 1-x^2 \leq 1 となります.

したがって

S/4 = \int_0^q \sqrt{1-x^2} dx \leq \int_0^1 1 dx = 1 (3)

となり, S/4\leq 1 が導かれます.S は単位円の面積なので [\tex:S = \pi] です.

これらより \pi \leq 4 が証明できます.

id:lionfan

KazuyaMitsutani様、ありがとうございます。納得いたしました。

2009/08/20 09:14:50

その他の回答(4件)

id:dunkshot No.1

dunkshot回答回数4ベストアンサー獲得回数02009/08/20 07:27:41

ポイント1pt

円周率が3であることの証明。

未知数xをまずこのように設定する。

x = (π + 3)/2

これを変形すると

2x = π + 3

次に両辺にπ − 3をかけると

2x(π − 3) = (π + 3)(π − 3)

であり展開したのちさらに移項して

9 − 6x = π2 − 2πx

ここでx2を両辺に加えると

9 − 6x + x2 = π2 − 2πx + x2

であり、変形すると

(3 − x)2 = (π − x)2

となる。これを解くと

3 − x = π − x

π = 3

ゆえに

π < 4

id:lionfan

dunkshot様、回答ありがとうございます・・・が、今はネタ回答は求めていません。

2009/08/20 07:34:11
id:syntaxerror No.2

syntaxerror回答回数354ベストアンサー獲得回数562009/08/20 07:29:08

ポイント30pt

もともと円周率を求めるのに円に内接する六角形と外接する六角形から順に多角形にしていくことで求めていますからそのスタート地点として正方形を設定して円周率は4よりも小さいというのは問題ないです。


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87%E3%81%A...

id:lionfan

syntaxerror様、ありがとうございます。

自分の疑問は、ある図形Aに図形Bが内接しているからといって、

それだけでは図形Aの外周が図形Bより長いとは言えないと思ったのです。

ですので、なんかごまかされているような気がしたのでした。

2009/08/20 07:33:13
id:KazuyaMitsutani No.3

KazuyaMitsutani回答回数6ベストアンサー獲得回数22009/08/20 07:57:53ここでベストアンサー

ポイント50pt

まず,円の中心を原点とするような x-y 座標を導入します.

単位円の四分の一だけ考え面積を求めます.

円周上の y 座標を x 座標で表すと

y=\sqrt{1-x^2} (1)

となります.したがって円の面積の 1/4 は

S/4 = \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx (2)

となります.ただし円の面積を S とおきました.

(2)式の被積分関数に関してですが x は実数なので 1-x^2 \leq 1 となります.

したがって

S/4 = \int_0^q \sqrt{1-x^2} dx \leq \int_0^1 1 dx = 1 (3)

となり, S/4\leq 1 が導かれます.S は単位円の面積なので [\tex:S = \pi] です.

これらより \pi \leq 4 が証明できます.

id:lionfan

KazuyaMitsutani様、ありがとうございます。納得いたしました。

2009/08/20 09:14:50
id:rsc96074 No.4

rsc回答回数4400ベストアンサー獲得回数4042009/08/20 08:38:19

ポイント10pt

 こちらは参考になるでしょうか。

●外接多角形の周長

http://homepage2.nifty.com/morzine/mathematics/circumscribed.htm...

id:lionfan

rsc96074様、ありがとうございます。了解です。

2009/08/20 09:15:35
id:SALINGER No.5

SALINGER回答回数3454ベストアンサー獲得回数9692009/08/20 09:04:52

ポイント25pt

>図形Aの外周が図形Bより長いとは言えないと思ったのです。

その通りです。内接することでわかることは正方形よりも内接する円の方が面積が小さいということです。


面積の大小が分かれば、後は円の半径を何倍すれば円周になるかをπと置いたときに、

円の面積がπr^2になることを証明すればいいことになります。

その公式は証明されずに小学校で教えられる公式で、証明するためには微分積分を必要とします。


以下その方法。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle4.htm


円の面積がπr^2で、正方形の面積が4r^2、面積が正方形よりも円の方が小さいことから

π<4ということが証明できます。

id:lionfan

SALINGER様、ありがとうございます。了解です。

2009/08/20 09:16:02
  • id:syntaxerror
    >自分の疑問は、ある図形Aに図形Bが内接しているからといって、
    >それだけでは図形Aの外周が図形Bより長いとは言えないと思ったのです。


    図形Aも図形Bも「内に凸な図形」で無いということを認めれば言えます。

    http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/convex1.htm

  • id:SALINGER
    ちょっと突っ込んでおきます。
    まず、1/4円が1より小さいことは積分を使わなくても明らか。
    Sがπであることを証明するにはπr^2を使わなくてはいけなく、その証明はありません。
  • id:KazuyaMitsutani
    KazuyaMitsutani 2009/08/20 19:22:01
    確かに円周率の値は円周と直径の比で与えられるので,そこから出発するとなると厳密には直径と面積の比に関しては証明が必要ですね.
  • id:kuro-yo
    > Sがπであることを証明するにはπr^2を使わなくてはいけなく、その証明はありません。

    なら、id:syntaxerrorさんの回答にもある通り、
    区分求積法で示せば良いのではないですか?

    半径1の円の面積は、円を半分にわけて等分に扇形に分割し、
    互い違いに組み合わせれば、高さ1幅πの長方形と見なされます。
    ここから、半径1の円の面積がπである事が示されます。

    また、これは明らかに高さ1幅4の長方形よりつまってますから、
    (∵半分に切って重ねると一辺2の正方形になるから)
    図形だけで、π<4が言えます。
  • id:rsc96074
     扇形DBOの面積 < 三角形DCOの面積
    ∴(1/2)rL<(1/2)rh
    ∴L<h
    で個人的にはいけそうなきがしますが、どうなんでしょう。(^_^;
     下記URLには、正式な証明があるようです。→参考[3]参照
    ※参考URL
    ●3 < π < 4 を示せ. - 世界変動展望
    http://blog.goo.ne.jp/lemon-stoism/e/1c72b2471678bdc96f9a295b2fcaabc3

  • id:SALINGER
    なんかコメントついてる。
    >区分求積法で示せば良いのではないですか?
    はい、示していればいいです。
  • id:kuro-yo
    回答1ですが、

    > 3 − x = π − x

    二乗を開いたのですから、

    3 − x = ±( π − x )

    でしょう。

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