【大学受験数学】次の数学の問題の解説をお願いします。

*[A-18]

2つの式をx+1で因数分解すると、

x^3+2x^2-x-2
= (x+1)(x^2 + x - 2)
= (x+1)(x-1)(x+2)

3x^2+(a^2)x-2a
=(x+1)(3x+(a^2-3))

が導き出される。

これから、

a^2-3=-2a
a^2-2a-3=0
(a-3)(a+1)=0

であることが分かる。

したがって、a=3または-1であるが、

a=3のとき、

(x+1)(3x+(a^2-3))
=(x+1)(3x+6)
=3(x+1)(x+2)

となるので、2つの式の最大公約数が(x+1)(x+2)となってしまうため、a=3は除外される。

したがって、a=-1となる。

*[A-19]

a/b がn番目に現れるとする。

a+b=cとすると、

まずc=2のものが1つあらわれ、

次にc=3のものが2つあらわれ、

次にc=4のものが3つあらわれ、

という規則になっている。

同じcの中では、

まず、b=1、a=c-1のものがあらわれ、

次にb=2、a=c-2のものが現れ、

以下同様にbが1ずつ増え、aが1ずつ減り、

最後にb=c-1、a=1のものがあらわれる。

これにより、

   k=c-1
n = Σk   + b
   k=2
n = (c-1)*(c-2)/2 + b
n = (a+b-1)*(a+b-2)/2 + b

よって、a=3、b=7をあてはめると、n=43となる。

*[A-20]

すべての分銅を1つずつ使うと、合計6gとなる。

残り4gの組み合わせを考えると、

3gの分銅を使う場合、3gと1gの1通り、

3gを使わず、2gの分銅を使う場合、2gが2個、2gが1個と1gが2個、以上2通り。

1gの分銅のみ使う場合、1gが4個の1通り。

以上4通りが考えられる。

[A-18]

x^3+2x^2-x-2=(x+1)(x-1)(x+2)

最大公約数が x+1 であるので、3x^2+(a^2)x-2a=(x+1)(cx+d) と表せ、x=-1 を代入すると 0 になります。

3x^2+(a^2)x-2a は x+1 の倍数であるということです。

x=-1 を代入して、3×(-1)^2-a^2-2a=-(a-1)(a+3)=0 よって a=-3, 1

a=-3 のとき、3x^2+(a^2)x-2a=3(x+1)(x+2) となり、

x^3+2x^2-x-2=(x+1)(x-1)(x+2)との最大公約数は(x+1)(x+2) になってしまい、不適です。

a=1 のとき、3x^2+(a^2)x-2a=(x+1)(3x-2) となり、条件を満たします。

よって a=1

[A-19]

数列は、｢k/1, (k-1)/2,…, 1/k｣ (k=1,2,…) と書き換えられます。

｢｣内の個数はk個であり、｢｣内のそれぞれの分母と分子を足したものは k+1 で一定です。それぞれの分母は｢｣内での順番を表します。

3/7 は、k=9 の｢｣内の7番目のものです。

k=1～8 の｢｣内の個数の総和は 1+2+…+8=36

よって、36+7=43番目です。

[A-20]

どれも最低1こは用いるので、1+2+3=6g 分は固定されます。

残りの4g分を考えれば良いです。

3g+1g, 2g+2g, 2g+1g+1g, 1g+1g+1g+1g の4通り

問題番号[A-18]

f(x)=x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)

g(x)=3x^2+(a^2)x-2aとすると、

(x+1)を公約数にもつので、因数定理から、

g(-1)=3(-1)^2+(a^2)(-1)-2a=3-a^2-2a=0

∴a^2+2a-3=(a-1)(a+3)=0

∴a=1,-3

(1)a=1のとき、

g(x)=3x^2+(1^2)x-2(1)=3x^2+x-2=(3x-2)(x+1)

　確かに、最大公約数は、(x+1)である。

(2)a=-3のとき、

g(x)=3x^2+{(-3)^2}x-2(-3)=3x^2+9x+6=3(x^2+3x+2)=3(x+1)(x+2)

　この場合、最大公約数が、(x+1)(x+2)になってしまうので不適。

以上より、求めるａの値は、a=1

問題番号[A-19]

　まず、次のように群に分けます。

1 | 2 1 | 3 2 1 | 4 3 2 1 |     | 9 8 7 6 5 4 3 2 1 | 
- | - - | - - - | - - - - | ....| - - - - - - - - - | 
1 | 1 2 | 1 2 3 | 1 2 3 4 |     | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 

　第ｎ群のメンバーの数はｎだから、第8群の末項までの項数を求めると、

Σ[k=1,8]k＝(1/2)(8){(8)+1}=36

3/7は、第9群の7番目の数だから、これに、7をたして、求める番号は、

36+7＝43番目

問題番号[A-20]

　1g, 2g, 3g の３種類の分銅をそれぞれ、最低でも1個は用いるので、(ｘ+1)個、(ｙ+1)個、(ｚ+1)個用いるとすると、

(x+1)+2(y+1)+3(z+1)=10

∴x+2y+3z+(1+2+3)=10

∴x+2y+3z=10-6=4

ｚの取り得る値は、z=0,1の2拓だから、ここからは、場合分けしていく。

(1)z=1のとき、

(x,y,z)=(1,0,1)

(2)z=0のとき、x+2y=4

ｙの取り得る値は、y=0,1,2で、

(x,y,z)=(4,0,0)

(x,y,z)=(2,1,0)

(x,y,z)=(0,2,0)

以上から、4通り。

問題番号[A-18]

xの３次式 x^3+2x^2-x-2 と　xの2次式 3x^2+(a^2)x-2a

の最大公約数が x+1 であるとき、

aの値を求めよ。

まず確認

｛x^3+2x^2-x-2｝÷｛x+1｝＝｛x^2+x-2｝

で成立。

｛3x^2+(a^2)x-2a｝÷｛x+1｝

を求めると

       3x    a^2-3
     ------------------
x+1 / 3x^2 + a^2 x - 2a
       3x^2 +  3  x
     --------------
          (a^2-3)x - 2a
          (a^2-3)x + (a^2-3)
          ------------------
                         0

　-2a -(a^2-3) =0

　a^2 + 2a -3 = 0

　(a+3)(a-1)=0

　∴ a=-3 又は 1

問題番号[A-19]

次の数列においおて、3/7　は何番目に

現れるか求めよ。

1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 2/2, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, ....

数列を以下のように書き換え n/m で表すと

1行目：1/1,

2行目：2/1, 1/2,

3行目：3/1, 2/2, 1/3,

4行目：4/1, 3/2, 2/3, ....

n/mは何行目になるか考えると n+m-1 行目になる。

その直前の行までの数列の個数は1からn+m-2までの公差1の等差数列の和で表される。

(n+m-2)(1+(n+m-1))/2

n/mはそこからn個目なので

((n+m-2)(1+(n+m-1))/2)+n

したがって3/7は、

((3+7-2)(1+(3+7-1))/2)+3 = (8 x (10/2)) + 3 =43 番目

問題番号[A-20]

1g, 2g, 3g の３種類の分銅をどれも用いて

10gのものを量るとき、分銅の組み合わせは

何通りあるか求めよ。

どれも必ず使うので1g+2g+3g=6gは確定

10g-6g=4g

4gを1g,2,3gの分銅を使って作ると

1g+1g+1g+1g

1g+1g+2g

1g+3g

2g+2g

の4通り