1263234152 メネラウスの定理の証明について、質問があります。


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△ABCの辺AB、BC、CAの延長線と、頂点A、B、Cを通らない直線LMNと交わるとき、

BL/LC・CM/MA・AN/NB=1

となることを証明せよ。
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という問題を解きたいのですが、普通のメネラウスの定理の証明とは違うようでして。。。

図が2つあります。図2は、ヒントだと思われます。
射影幾何学についての項目に記載されていた問題なので、それを使わないといけないのかもしれません・・・皆様のお力をお貸しいただきたい次第です。
よろしくお願いします(>_<)

回答の条件
  • 1人5回まで
  • 登録:2010/01/12 03:22:36
  • 終了:2010/01/14 06:48:45

ベストアンサー

id:rsc96074 No.1

rsc回答回数4385ベストアンサー獲得回数4002010/01/12 07:43:05

ポイント100pt

 (BL/LC)・(CM/MA)・(AN/NB)=1を証明したいのだから、左辺の(BL/LC)、(CM/MA)、(AN/NB)をそれぞれ他のもので表してみる方針。

 図2のように、直線LMに垂線AA'、BB'、CC'を引くと、

 BB'//CC'だから、△LBB'∽△LCC' (ただし、「∽」は相似記号)

∴BL/CL=BB'/CC'・・・①

 CC'//AA'だから、△MCC'∽△MAA'

∴CM/AM=CC'/AA'・・・②

 AA'//BB'だから、△NAA'∽△NBB'

∴AN/BN=AA'/BB'・・・③

①,②,③の辺々をかけて、

(BL/CL)(CM/AM)(AN/BN)=(BB'/CC')(CC'/AA')(AA'/BB')=1

辺の向きを整えて、

(BL/LC)(CM/MA)(AN/NB)=1

id:moon-fondu

①の時点で一瞬「あれ?」と思いましたが、「BB':CC'=BL:CL→BB'・CL=BL・CC'」から、①も成り立ちんですね~(^_^;)

いやはや、ありがとうございます<m(__)m>

2010/01/14 06:48:22

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