数学を簡単に説明した書籍を読んだ際、最後のページの方はゼータ関数とオイラーの公式は美しいみたいな感じで締めくくっていたのですが、以下の事を知っている方がいましたら、分りやすく説明いただければ幸いです。


①そもそもゼータ関数とオイラーの公式とは何か?(また、お互いの関係性)
②ゼータ関数とオイラーの公式は、研究上、実際どんな場面で使い、役に立つものなのでしょうか?

回答の条件
  • 1人2回まで
  • 登録:2010/01/16 20:10:51
  • 終了:2010/01/20 22:24:16

回答(3件)

id:ita No.1

ita回答回数203ベストアンサー獲得回数472010/01/17 08:30:38

ポイント40pt

ゼータ関数のオイラーの積の公式のことですね

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B...

ゼータ関数はもともと、

1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{9^s}+\cdots

という、自然数全てに関する和です。これが

\frac{1}{1-2^{-s}}\times \frac{1}{1-3^{-s}}\times\frac{1}{1-5^{-s}}\times\frac{1}{1-7^{-s}}\times\frac{1}{1-11^{-s}}\times\frac{1}{1-13^{-s}}\times\cdots

という、素数全てに関する積で表されることをオイラーが発見し、ゼータ関数が素数の研究において主役に躍り出ました。

公式の分かりやすい説明:http://d.hatena.ne.jp/ita/20080620/p1

id:ey272

ご回答ありがとうございます。

スペースシャトルの設計とか?、素粒子関連の研究とか?に使われていると思っていましたが、

Wikipediaにあるように「素数分布の研究などの解析的数論における研究対象」ということですね??

2010/01/17 19:56:05
id:nobnob3 No.2

考え中回答回数321ベストアンサー獲得回数292010/01/17 12:10:02

ポイント40pt

素人ですが

http://math.artet.net/?eid=212611

http://www.titech-coop.or.jp/landfall/pdf/43/43-1.pdf

上記リンクは求められている回答の一つかと思いました。

id:ey272

参考になりました。

ありがとうございます。

2010/01/17 19:52:45
id:practicalscheme No.3

practicalscheme回答回数157ベストアンサー獲得回数422010/01/18 11:41:14

ポイント40pt

私も素人なのですが、こういう話にはわくわくします。

スペースシャトルの設計とか?、素粒子関連の研究とか?に使われていると思っていましたが、

Wikipediaにあるように「素数分布の研究などの解析的数論における研究対象」ということですね?

まるっきり数学の世界の中だけの話でもないそうです。

二つの金属板を真空中で極めて近づけて置くと、引き合う力が生じる「カシミール効果」という量子力学的現象があります。この力を普通に計算しようとすると途中で無限大になってしまうのですが、ゼータ関数を使うとちゃんと値が計算できます。量子力学では他にも、表面的な計算では途中で無限大になってしまう総和を無限大にせずに計算するのにゼータ関数が応用されているそうです。(歴史的には、無限大にしない計算方法というのが考えられて、それがゼータ関数で理解されるようになったと言う方がいいのかな? 識者のツッコミを待ちます)。

素数の分布という数学的な話が物理的な現象と関わっているというのは不思議な感じがします。

wikipedia日本語版には式が出ていないんですが、英語版には式があります。 http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect

id:ey272

回答ありがとうございます。

やはり、数学以外の世界で使うことがありそうですね。

どんな風に使うのか詳しく知りたいものです。

2010/01/18 21:37:07

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